今回は、因数分解が苦手な人がやりがちなミスを取り上げます。

まず、この問題あなたは解けますか？

$$4x^2-36y^2$$

解けましたか？

解けましたね？

$$(2x+6y)(2x-6y)$$

になりましたか？

なった人はこのサイトを見て良かったですね！

正解は、

$$4(x+3y)(x-3y)$$

です！

共通因数でくくることを忘れている

因数分解の大鉄則は”共通因数があったら必ずくくる”です！

大切なのでもう一度言います。

因数分解の大鉄則は”共通因数があったら必ずくくる”です！

なので、$$4x^2-36y^2$$は$$4$$が共通因数なので、乗法公式を使う前に$$4$$でくくりださなければなりません。

私は教育業界で30年以上指導していますが、この問題に引っ掛かって点数を落とした生徒をたくさん見てきました。

だからテスト前には必ずこの手の類題を解かせるようにしています。

特に、1問前に$$25x^2-49y^2$$みたいな問題を入れておくとかなりの割合で引っ掛かります。

なぜかというと、和と差の積の公式を使った直後なので、$$4x^2-36y^2$$を見たときに$$(2x)^2と(6y)^2$$が見えてしまうからなんです。

なので、因数分解の問題を解くときには必ず「共通因数」があるかどうかの確認をしてください。

＊ベテランの教師は問題の配列で平均点を操作しています。

1を意識していない

次はこの問題です。

$$x^2-13x+12$$

似たような問題で、$$x^2-8x+12$$ とか

$$x^2-7x+12$$ とかあります。

この２題は正答率高いです。

でも、$$x^2-13x+12$$は低くなります。

それはなぜかと言うと、

因数分解で乗法公式を使うとき、まず1番右にある数字に注目しますよね？

$$x^2-13x+12$$なら、掛けて12になる数字の組み合わせを考えますね。

そのときに、$$2 times 6$$や$$3 times 4$$はすぐに思いつきます。

ところが、$$12 times 1$$は気づきにくいんですよね。

特に右の数字がマイナスの数の場合

$$x^2+35x-36$$とか。

これは1を意識することで解決します。

また、少し難易度が上がりますが、

$$a(x-3)-(x-3)$$

この手の問題も質問が多く、テストでも間違いが多い問題です。

答えは、$$(x-3)(a-1)$$です。

左の項と右の項の共通因数は(x-3)ですね。

これでくくるのですが、右の項に(x-3)以外の文字や数字がないので「？？？」ってなってしまい悩んでしまうんですね。

$$a(x-3)-(x-3)$$を丁寧に書くと、

$$atimes(x-3)-1 times(x-3)$$

になるので、これなら答えが$$(x-3)(a-1)$$なるのが納得いくのではないでしょうか。

同様に$$x^2y-x$$も同じです。

これは、$$x(xy-1)$$が正解です。

なので、1を意識することで、この手の問題のミスはかなりの確率で防げるようになります。

あとは経験値です。「共通因数」「 1」を意識しながらたくさん問題を解きましょう！

平方数を意識していますか？

平方数とは、同じ数を2回掛け算した数のことです。

具体的には、1,4,9,16,25,49,64,81,100,121,144,169,196,225……、

上は1から15までの平方数です。平方根の問題を解くときにも役に立つので今のうちに覚えておくと数学の点数が上がりますよ♫

では、どのように意識するかというと、

$$x^2+12x+36,quad x^2+15x+36$$

のように、1番右の数字が平方数の場合の問題です。

これは乗法公式のⅡとⅢの公式

$$x^2+2ax+a^2$$や$$x^2-2ax+a^2$$

かどうかを見抜く力を養います。

例えば、上の例題の場合、1番右の数字は36なので6の平方数になりますよね。

$$36=6^2$$

ってことです。

このとき、真ん中のxの係数が6の2倍になっていれば、乗法公式ⅡかⅢにあてはまります。xの係数の符号が＋ならⅡ、-ならⅢになるわけです。

$$x^2+12x+36,quad x^2+15x+36$$

の場合、左の問題は12は6の2倍で符号が＋なので乗法公式のⅡになります。よって、

$$(x+6)^2$$

左の問題は、$$(x+3)(x+12)$$

ということは、平方数を意識することで、乗法公式を見抜く力が高まると言うわけです。

ぜひこれを機会に1から15までの平方数は覚えておきましょう。

補足：展開でやりがちなミス

おまけで、展開の問題でやりがちなミスも紹介しておきますので、チェックしておいてくださいね。

文字がaなのに真ん中文字がxに…

これは習い始めた頃に起こりやすいミスです。

$$(a+3)(a-5)=a^2-2x-15$$

どこが間違いか気づきましたか？

そうです、真ん中の項の文字がxになっちゃってますよね。

特に初めの頃は文字がxの展開が多いので印象に残ってしまって起こるんです。

$$(a+3)(a-5)$$みたいに文字が、$$x$$ではなくて$$a,quad m$$など、他の文字の場合に起こりがちなミスです。

これを読んでる人の中にも「やったことある」と思った人もいるのではないでしょうか？

真ん中のyやbが消えてる

これは、$$(x+5y)(x-3y),quad (a-4b)(a+2b)$$みたいに多項式の右の項が数字だけではなく、文字も含む場合です。

これが$$x^2+3x-15y^2,quad a^2-2a-8b^2$$のようなミスです。

正解は$$x^2+3xy-15y^2,quad a^2-2ab-8b^2$$

これもよくあるミスです。

このミスを減らすには、ミスした問題の分析を「ケアレスミス」と大雑把にするのではなくて、「右にyとかbがあったときに、真ん中の項に書き忘れたから要注意！」と細かく分析して頭の中に「要注意！」と意識して残しておきましょう。そうすれば脳は次の時には意識するのでミスは減ります。

文字の２乗が消滅

まずは、上の問題の1番右の文字の2乗を書き忘れるケースです。

$$x^2+3xy-15y,quad a^2-2ab-8b$$

みたいなミスのことです。

これもあるあるです。正解は、x^2+3xy-15y^2,quad a^2-2ab-8b^2$$ですよね。

また、$$(xy+3)(xy-5)$$みたいに１つの項に文字が２つある場合

$$xy^2-2xy-15$$みたいなミスもあるあるです。

正解は、$$x^2y^2-2xy-15$$

どこが間違いなのか気がつきましたか？

中には気がつかないで丸をつけている生徒もいます。（結構多いんだよ、これが！）

1番左の項に注目してください。初めの文字を2乗するのを忘れてしまうケースです。

まとめ：ミスを減らして成績をアップさせるには？

では、このようなミスを減らすにはどうしたら良いのでしょうか？

それは、計算ミスをただの「ケアレスミス」だから大丈夫で終わらせないことです。

「ケアレスミス」だから大丈夫と思ってしまうと、テストで同じミスをしてしまう可能性が高まります。

なので、ミスの分析を「ケアレスミス」で終わらせないで、もう少し細かく分析して次に活かせるようにするとミスが減ります。

よって、得点がアップして成績が上がりますよ！

頑張って！

今回は、たすき掛けの因数分解が苦手な人、時間がかかるのでもっと速く解きたい人に向けた内容です。

• 普通の因数分解ならなんとか解けるけど、たすき掛けは数字の組み合わせがいっぱいあって何回も試さなきゃいけないから大変だし正直面倒くさい…
• でもできるにならないテストで赤点取っちゃったらかっこ悪いし、
• 赤点取ったら再試があるし、休みに補習出なくちゃいけなくなるのはもっとやだ！
• お姉ちゃんからたすき掛けできないとこの先の二次方程式とか数学人生詰むぞ！って脅かされてる。
• 明日のミニテストのためにたすき掛けのスピードをアップさせたい！

どれか一つでも思い当たったら読んでみてくださいね。

では、いってみましょう♫

たすき掛けの因数分解とは

たすき掛けの因数分解とは、因数分解を解く手法の1つです。中高一貫校であれば中学校で扱う場合がありますが、本来は高校1年で学ぶ「数Ⅰ」で学ぶ手法です。

\(x^2\)の係数(前についてる数字)が2以上の場合に使うことが多いです。

こんなの見たことありませんか？

青い線と赤い線のところがたすきにかけてありますよね。

だからたすき掛けって言います。

具体的な数字だとこんな感じ。

なぜ、たすき掛けの因数分解は面倒くさいのか？

たすき掛けの因数分解が面倒くさいのは「数字の組み合わせ」がたくさんあるからです。1回や2回でドンピシャ決まると気持ちいいですが、そうでないとイライラしますよね。

例えば上の問題の場合符号との組み合わせを考えると8通り考えられます。

この問題は定数項が2なのでまだ組み合わせは少ない方なんですよね……。

数字の感覚があるとスラスラできるのですが、数学に苦手意識があったりすると思うように解けなくて挫折するわけです。

でも、この組み合わせの数を減らすことができれば、楽チンだと思いませんか？

そんな技も含めて「たすき掛けを簡単に解く3つのコツ」を紹介します！

たすき掛けの因数分解を簡単に解く3つのコツ！

では、たすき掛けの因数分解を簡単に解く3つを紹介します。

1. 互いに素を意識する
2. 符号の組み合わせを意識する
3. 2つ目の文字は解答用紙に先に書いておく

です。

ではそれぞれ詳しく説明しますね。

1.互いに素を意識する

いきなり「互いに素」なんて難しい数学用語出すんじゃないよって思ったかもしれませんが、実はそんなに難しくなくて（むしろ簡単）約数が1だけってことです。

具体例で見ていきます。

今回は因数分解なので2つの数とします。

例えば、6と5。この2数は1でしか割れませんよね？こういうのを「互いに素」って言うんです。

6と2では、2で割り切れるので互いに素ではありません。

因数分解の大鉄則は「共通因数でくくる」でしたね。

だから括弧（）の中の数の約数は1意外あり得ないのです。なぜならそれ以外の約数がある場合はすでに共通因数として（）の外にくくり出されているからです。

ですから次の下段にある６と＋２や２と−２の組み合わせは、答えとしてあり得ないんですね。

だからはじめから考えなくていいんですよ。そうすると考えるパターンが８種類から４種類にまで半分で済むんですね。少し楽になって来ましたね。

2.符号の組み合わせを意識する

2つ目のコツは「符号の組み合わせを意識する」です。

例えば上の問題\(6x^2-x-2\)、1番右の定数項（数字だけの項）の符号が「ー」です。

ということはかける２数のうち1つの符号は「ー」が確定します。しかも真ん中の項の符号は「ー」です。

そうするとたすき掛けしてできた2つの数字のうち絶対値（数字）が大きい方が「ー」になるわけです。なぜなら足してマイナスの数になるには絶対値が大きい方がマイナスの数出なければマイナスの数にならないからです。

この問題は「符号の組み合わせ」だけを考えた場合にも８種類から４種類に減ります。

しかも「互いに素」も組み合わせれば、この問題の場合組み合わせは次の2通りだけになります。

こっちが正解

こっちは不正解

８種類あるのが「互いに素」と「符号に意識」するだけで２種類だけ考えればOKなんですよ。

これならかなり楽ちんになりますよね！

2つ目の文字は解答用紙に先に書いておく

たすき掛けの因数分解を簡単に解く3つのコツの最後はミスを減らすチート技です。

上の問題のように\(6x^2-x-2\)文字が\(x\)だけと１種類だと問題なのですが、これが\(6x^2-xy-2y^2\)のように 文字が２種類出てくるときにやってしまいがちなミスを減らす技です。

たすき掛けって数字だけを取り出して考えるので、例えば\(6x^2-xy-2y^2\)の場合、解答欄についうっかり\(=(2x+1)(3x-2)\)と書いてしまうんですよ。\(y\)を書き忘れちゃうんです。

本来なら\(=(2x+y)(3x-2y)\)と書かなければなりません。

でもついやっちゃうんですよね、解けた！って気持ちがほっと気が抜けるんでしょうね。

あなたもやったことありませんか？（私は学生時代に何回もやったことがあります）

このミスを減らすには、次のように解答欄に先に文字を書いておくんですよ。

( \(\ x\) –\(\ \ y\))( \(\ x\) –\(\ \ y\))

文字の前に少しスペースを開けておくのがコツです。符号の「ー」は先に書いておきましょう。「＋」だったらチョンと書き足せばいいだけですから。

これだけでミスは減るしスピードもアップするし、軽快に溶けるようになりますよ。

まとめ

たすき掛けの因数分解を簡単に解く3つのコツ！をまとめると、

1. 互いに素を意識する
2. 符号の組み合わせを意識する
3. 2つ目の文字は解答用紙に先に書いておく

です。

勉強なんて慣れですから、繰り返しやっていればそれなりには解けるようになりますから。

ぜひコツを試して、たすきがけの因数分解を少しでも早くミス無く解けるようになってくださいね。