「関数って何だか難しそう…」「グラフとか記号がいっぱいで、もうイヤ！」

そんな風に思っている中学生の皆さん、こんにちは！

実は、関数は決して怖いものではありません。このガイドを読めば、関数の基本的な考え方から、グラフの読み解き方まで、スッキリと理解できるようになりますよ！

「これで関数は怖くない！」を合言葉に、一緒に一歩ずつ関数ワールドを探検してみましょう！

1-1. まずはイメージ！ブラックボックスで関数を体験

関数が苦手になる理由はいくつかありますが、一番大きいのは抽象の概念がもろに入ってくることです。

具体的な水槽の話から、数値の関係性を抽象化して表やグラフ、そして式を求めることから始まります。

その後にいきなり抽象化された数字だけの世界に放り込まれるので、抽象と具体の行ききを理解できないと「ここはどこ？」「私は誰？」状態になってしまい、関数ってわけわからん！？となるのです。

そこで、関数を理解するために関数とはこんなイメージなんだよってことを体験しましょう。

関数を理解するためによく使われる例えがブラックボックスです。

ここにブラックボックスがあります。

このブラックボックスの左側から入力して右側から出力します。

左側から色を入力して、ブラックボックスを通してある法則で右側から出力しました。このブラックボックスにはどんな法則があるか分かりますか？

そうです、「白を混ぜる」という法則ですね。

このように入力したものを「ある法則」に従って出力するものが関数なのです。

次はどんな法則で出力しているか分かりますか？

今度は入力した数を「4倍する法則」ですね。

関数では一般的に入力を \(x\) 、出力を \(y\) を使って表します。

上の図の関数を式で表すと、入力（\(x\)）した数値を4倍した数が出力（\(y\)）になるので、\(y=4x\) になるわけです。

ここで、\(x\) のことを独立変数、\(y\) のことを従属変数と言います。中学数学で変数という用語はさらっと紹介されます。簡単にいうと未知数のことです。

\(x\) のことを独立変数と呼ぶのは、\(x\) にはその関数の法則を抜きに(独立して)、どんな数字も当てはめることができるからです。

それに対して\(y\) のことを従属変数と呼ぶのは、その関数の法則に従って数が決まるからです。従属とは従ってという意味ですね。

詳しくは高校数学で学びます。

1-2. 大事なキーワード！「増加量」と「値」の違いをつかめ！

関数が苦手な人の特徴の1つに「増加量」と「値」の違いがよく分からず、ごっちゃになってしまっていることがあります。

「増加量」と「値」の違いをしっかり理解して使い分けることができると、途端に関数が得意になります。

増加量とは、その名の通り「増えている量」ですよね。

例えば、あなたは今3,000円持っているとします。お小遣いをもらって8,000円になりました。

この場合の増加量はいくらになりますか？

そうです、「5,000円」になりますよね。

この「5,000円」を計算で出すには8000-3000=5000と引き算で出します。

引き算の答えのことを「差」と言いますよね。

ですから増加量のことは「差」で求めるわけです。

それに対して「値」というのは\(x=3\)とか\(y=-2\)のように表せれます。

例えば、「\(x=3\)のとき\(y=-2\)で、\(x=7\)のとき\(y=10\)」の場合、

\(x\)は\(x=3\)から\(x=7\)になっているので、\(x\)の増加量は7-3=4になります。

\(y\)は\(y=-2\)から\(y=10\)になってます。ですから10-(-2)=10+(+2)=12になるわけです。

このように「増加量」と「値」というのは両方とも数字なのですが、意味が違います。

この違いをしっかり理解してそれぞれを求められるようになれば一次関数はすぐに得意になれますよ。

なぜかというと、一次関数で一番重要なのは「変化の割合」であり、「変化の割合」とはまさに\(x\)が1増加するときの\(y\)の増加量のことだからです。

「変化の割合」を求める公式は↓です。

\(y\)の増加量を\(x\)の増加量で割れば求めることができます。

ですから、増加量とは差のことである。引き算をして求めるんだ！と意識して覚えてくださいね。

その上で練習問題を解いていけば、関数の問題はすらすら解けるようになりますから。

2. 関数を式で表してみよう！【中２数学の基本】

2-1. \(y = ax\) ってどんな意味？比例の関係

まずは中学1年生で習った「比例」について復習しましょう。

比例とは「\(x\) が2倍、3倍…、になる\(y\) も2倍、3倍…になる関係」のことでしたね。

比例の一般式は、\(y=ax\) でした。この\(a\)のことを比例定数といいました。

比例とは\(x\)に入力された数にこの比例定数を掛け算した「法則」のことです。

ですから、比例定数\(a\)を求めることができたら、比例の謎は解けたようなものなのです。

求め方は、公式\(a=\frac{y}{x}\)で求めてもいいですし、一般式\(y=ax\) の\(x\)と\(y\)に問題文で分かっている値を代入して求めてもOKです。

実はこの \(y=ax\) という比例も一次関数の仲間なんです。

\(y=ax\) は\(y=ax+b\)の\(b\) が\(0\) の場合を表しているんですね。

\(y\)切片が \(0\) だから原点を通るわけです。

2-2. \(y = \frac{a}{x}\) 反比例も簡単理解!

中学１年生のときに比例と一緒に習った反比例についても少し見ていきましょう。

反比例の一般式は、

\[y = \frac{a}{x}\]

でしたね。

\(x\) が2倍、3倍となると、 それに従って\(y\)は \(\frac{1}{2}\)倍、\(\frac{1}{3}\)になる関係のことを反比例と言いました。

反比例でもこの\(a\)のことを比例定数といいます。（※反比例定数とは言いません）

小学校のではこの\(a\)のことを「決まった数」と教えています。

ですから、反比例とはこの決まった数を\(x\)に入力した数で割り算する「法則」で出力\(y\)が決まります。

反比例は一次関数の仲間ではありません。

一次関数は \(y=ax+b\)という一次式で表される関数です。反比例は \(y = \frac{a}{x}\) なので、\(x\)が分母にあります。この場合は一次式とは言わないので一次関数ではありません。

また一次関数は変化の割合が一定な関数です。

例えば、\(y=2x+3\)という一次関数があります。この変化を表で表すと、

となります。

この表から\(x\)が\(1\)増加すると、それに従って\(y\)が\(2\)ずつ増加するのが読み取れますね。

このように一次関数は変化の割合が一定です。

今度は反比例を見てみましょう。

\(y = \frac{2}{x}\)という反比例を表で表します。

表のように、\(x\)の増加量が一定ではありませんね。ですから反比例は一次関数ではありません。

2-3. いろんな関数にチャレンジ！一次関数って？

では、中学２年生で習う「一次関数」についてみていきます。

一次関数は \(y=ax+b\)という一次式で表される関数です。

\(a\)のことを変化の割合(傾き)、\(b\)のことを切片（※\(y\)切片）と言います。

ではどんな法則なのか？

それは、\(x\)に入力した数を何倍(かけ算)してから、さらにある数を足し算する「法則」です。

入力した数にかけ算するのは\(a\)変化の割合で、その後に足し算するのは\(b\)の切片です。

例えば、\(y=2x+3\) と言う一次関数の場合、\(x\)に入力した数を \(2\) 倍してから\(+3\)を足す法則のことです。

\(y=-3x-5\)の場合は、 \(x\)に入力した数を \(-3\) 倍してから\(-5\)を足す法則になるわけです。

一次関数の法則は2回の計算があるので、難しい印象を持ってしまうのかもしれません。

ただ、これも慣れの問題なので適切な方法で繰り返し練習すればできるようになります。

そのときに気をつけて欲しいのは上の「1-2. 大事なキーワード！「増加量」と「値」の違いをつかめ！」のところなので繰り返し読んで、問題を解くときに意識してくださいね。

一次関数の解き方のコツはこちらの記事をお読みください。

3 関数のまとめ

関数とは入力と出力の関係のことでした。\(x\)に入力してある法則にしたがって\(y\)を出力する関係のことです。

\(x\)に入力した数を何倍かする「法則」を比例、比例定数（決まった数）を\(x\)に入力した数で割っていく「法則」を反比例と言います。

一次関数は、\(x\)に入力した数を何倍かした後にある数を足し算する「法則」でした。入力した数に\(a\)変化の割合を掛け算してから、切片の数を足し算して出力する関係のことです。

比例や反比例は1回の操作(計算)で終わるのに、一次関数は2回の操作（計算）があるので難しい印象がありますが、慣れれば簡単に求められるようになるので、諦めずにマスターしてくださいね。

今回は一次関数の直線の式の求め方について説明します｡
一次関数の問題は直線の式が求めることができれば､ほぼ解決します｡

できるようになれば苦手から得意にも変わることができますよ｡頑張ってﾏｽﾀｰしてくださいね｡

一次関数実践編1:直線の式の求め方

一次関数の一般式は
\[y=ax+b\]
ですね｡

直線の式を求める問題はこの一般式の \(a\) と\(b\) がいくつになるのかを計算して求めればいいわけです｡

ですからまず一次関数の一般式における \(a\) と\(b\) の名前と意味を頭に入れておきましょう｡

ﾃｽﾄに出題されるﾊﾟﾀｰﾝを簡単な順に紹介します｡

出題例その1:\(a,b\)の2つともわかっている問題

いちばん簡単なﾊﾟﾀｰﾝです。次のような問題です｡

例題:次の条件を満たす直線の式を求めなさい｡
(1) 変化の割合が \(2\) で切片が \(-3\)

一次関数の一般式の\(a,b\)の名前を覚えていればあとはこの数字を式に当てはめること(代入)で答えになります｡

変化の割合は \(a\) で 切片は \(b\) ですから､答えは
\[y=2x-3\]
になります｡

(2) 傾きが \(\displaystyle-\frac{2}{3}\)で切片が \(5\)

(1)と同じように代入して求めます｡

\[ y=-\frac{2}{3}x+5 \]

この問題ができない場合は、まず上にある一般式の図を覚えましょう。

特に \(a \)は変化の割合と傾きの \(2 \)つの呼び方があるのでしっかり覚えてください｡

出題例その3: \(a,b \)のどちらかがわかっている問題

このﾊﾟﾀｰﾝは \(a,b \)のどちらかがわかっている場合です｡

例題:次の条件を満たす直線の式を求めなさい｡
(1) 変化の割合が\(3\)で､点\((2,-3)\)を通る直線

問題文から変化の割合\(3\) だと分かるよね。よって\(a=3\)です。

次に\(b\)を求めます。

\(a=3\)を一般式\(y=ax+b\)に代入すると、
\[y=3x+b\]
になるよね。

ここに、もう一つの条件である\((2,-3)\) を代入すると
\[-3=3\times 2+b\]
これを\(b\)の一次方程式として解くと
\[b=-9\]
よって、
\[y=3x-9\]
が答えになる。

(2)傾きが\(-2\)で､点\((-3,5)\)を通る直線

問題文から傾きが\(-2\) がわかるので、\(a=-2\)です。

(1)と同じように、

\(a=-2\)を一般式\(y=ax+b\)に代入すると、
\[y=-2x+b\]
になるよね。

ここに、もう一つの条件である\((-3,5)\) を代入すると
\[5=-2\times (-3)+b\]
これを\(b\)の一次方程式として解くと
\[b=-1\]
よって、
\[y=-2x-1\]
が答えです。

(3)切片が\(−3\)で､点\((2,5)\)を通る直線

今度は切片がわかっている場合。

問題文から切片は\(-3\)と分かるから、\(b=-3\)

これを一般式\(y=ax+b\)に代入すると、
\[y=ax-3\]
になる。

ここにもう一つの条件\((2,5)\)を代入する。

\[5=a\times 2-3\]

これを\(a\)の一次方程式として解くと

\[a=4\]

よって、

\[y=4x-3\]

が答え。

出題例その4:\(a,b\)の意味から考える問題

例題:次の条件を満たす直線の式を求めなさい｡
(1) \(x\)が\(3\)増加するとき\(y\)が\(12\)増加し､点\((-5,10)\)を通る直線

この問題は変化の割合の意味が分かっていないと解けません。

変化の割合とは、\(x\)が1増加したときの\(y\)の増加量のことでしたね。

この問題では、\(x\)が3増加するとき\(y\)が12増加するので、\(x\)が1あたり増加するときの\(y\)の増加量は、
\[12 \div 3=4\]
\(4\)になる。

よって\(a=4\)が分かる。
後は上の例題と同じやり方で解けます。

\(a=4\)を一般式\(y=ax+b\)に代入すると、
\[y=4x+b\]
になるよね。

ここに、もう一つの条件である\((-5,10)\) を代入すると
\[10=4\times (-5)+b\]
これを\(b\)の一次方程式として解くと
\[b=30\]
よって、
\[y=4x+30\]
が答え。

(2)傾きが\(3\)で､\(x=0\)のとき\(y=-4\)の直線

\(x=0\)のとき\(y=-4\)から\(b\)が\(-4\)だと分かる。

なぜかというと、切片\(b\)の意味は\(x\)が0のときの\(y\)の値のことだからだ。

だからこの問題は言い換えると、

「傾きが\(3\)で、切片が\(-4\)である直線の式を求めなさい」になるから、

\(a=3\)と\(b=-4\)を一般式\(y=ax+b\)に代入して、

\[y=3x-4\]
が答えになるんだ。

＊\(x=0\)のとき\(y=-4\)ということは\((0,-4)\)と同じだということも押さえておこう。

出題例その4:\(2\)点から直線の式を求める問題

\(2\)点から直線の式を求める問題は２通りのやり方があるので、あなたのやりやすい方で解きましょう。

1.連立方程式を立てて解く方法

教科書だとこっちがメインで解き方が載っている場合が多い。

要は、一般式\(y=ax+b\)にそれぞれの座標を代入して\(a,\ b\) の連立方程式として解けばいいのだ。例題(1)はこのやり方で解くね。

2.一次関数の意味を考えて解く方法

2点から変化の割合を求めてから、片方の座標を代入して解く方法。例題(2)はこのやり方で解きます。

例題:次の条件を満たす直線の式を求めなさい｡

(1) \((-2 , \ 3)\) , \( \ \) \((6 , \ -1)\)

1.連立方程式で解く方法

まず\((-2 , \ 3)\)から。左が\(x\)座標、右が\(y\)座標なので、\(x=-2,\ y=3 \)になります。

これを一般式\(y=ax+b\)に代入すると、\(3=-2a+b\)になるので、左辺と右辺を入れ替えると、

\[-2a+b=3\]

同じように、\((6 , \ -1)\)も代入して

\[6a+b=-1\]

これらの2つの式を\(a,\ b\) の連立方程式として解けば良いわけです。

\(b\)の係数が1で揃っているので、上の式から下の式を引き算すれば\(a\)が求められますね。

\(a =\displaystyle-\frac{1}{2} \)

これを上下どちらかに代入すれば、\(b=2\)が求められます。

よって、答えは

\[ y=-\frac{1}{2}x+2 \]

となります。

(2) \(x＝2のときy ＝3\), \( \ \) \(x ＝-1のときy ＝-9である。\)

2.一次関数の意味を考えて解く方法

まず変化の割合を求めます。

変化の割合は、\(y\)の増加量を\(x\)の増加量で割り算すれば求められましたね。

この例題の場合、\(x=2\)から\(x=-1\)に変化していると考えます。

\(3\)減ってますよね。これを言い換えると「\(-3\)増加している」になります。

\(y\)は\(3\)から\(-9\)に\(12\)減ってますよね。これは「\(-12\)増加している」と捉えます。

よって、変化の割合は

\[-12 \div (-3)=4\]

になります。

\(a=4\)が分かったので、ここから\(b\)を求めます。

ここからは上の例題と同じ計算になります。

まず、一般式\(y=ax+b\)に\(a=4\)を代入します。\(y=4x+b\)になりますね。

次にこの\(y=4x+b\)の式に、(x＝2のときy ＝3), ( \ ) (x ＝-1のときy ＝-9)どちらかの条件を代入して\(b\)を求めてください。

そのときのコツは計算が楽になりそうな方を選ぶことです。今回は(x＝2のときy ＝3)の方が楽そうなのでこれを代入して計算します。

\[3=4 \times 2+b\]

この式から、\(b=-5\)が求められます。

よって答えは、

\[y=4x-5\]

になります。

まとめ　一次関数実践編1:直線の式の求め方　

まずは一般式を覚えましょう。

そして変化の割合（傾き）と切片の意味を理解して、問題を解くときにどのように使うのかを意識しましょう。

あとは教科書や学校のワークなど問題をある程度の数を解いて慣れていきましょう。

勉強は、結局のところ慣れなので。

解き方を理解てして、慣れるまで繰り返して解くこと。

これがコツになります。

こんにちは！
今日は一次関数が苦手な人が得意になるための考え方や問題の解き方をレクチャーします。

この記事を読めば、一次関数のざっくりとした意味合いが分かり表やグラフから直線の式を求められるようになります。

この記事を読んだ方がいい人

• 一次関数の基本がわからない人
• 一次関数の表から直線の式を求められない人
• 一次関数のグラフから直線の式を求められない人
• 一次関数を得意にしたい人

では、いってみよう！

一次関数が苦手な人にまず意識して欲しいこと

苦手に人は一次関数の基本的な意味合いがわかっていない場合がほとんどです｡

基本的な意味を理解して手順を踏んで問題を解いていけばできるようになります｡

ですから､まずは一次関数とはどんな意味なのかざっくりとでいいので理解しましょう｡このときのｺﾂは意味を視覚的にｲﾒｰｼﾞして理解することです｡

その次に\[y=ax+b\] という式は何を表しているのかを理解しましょう｡

その上で問題を解いて練習していけば必ず解けるようになります。

ざっくりと意味を理解してｲﾒｰｼﾞしよう

意味を理解するときに大切なことは､その状況を視覚的なｲﾒｰｼﾞをしながら理解していくことです｡

もちろん中には文章(ﾃｷｽﾄ)で理解が進む人もいます｡ただ､長年の経験やその手の本を読むと視覚的に理解することが優位な人が多いという印象です｡

私も新しいことを理解するときはできるだけ写真のようにｲﾒｰｼﾞするようにしています｡そうすると理解も進むし比較的楽に覚えられます｡私は写真のように静止画で覚えるのが得意ですが､中には動画のように動きを加えて覚えるのが得意な生徒もいます｡

どちらが得意なのかは過去の出来事を思い返してみてください｡その時に静止画と動画のどちらの方が多いのかで決めてください｡

では､実際にｲﾒｰｼﾞをしながら一次関数をざっくりと理解していく練習をしてみましょう｡

教科書や参考書を見ると､最初に水槽やﾊﾞﾈについての具体的な数字を使って説明があります｡中学1年生の時に習った比例と比較して説明する場合が多いです｡

そして､
｢一次関数は｢ \(y = ax + b\) ｣のように｢\(y\) = 一次式｣で表せる関数と定義されています｡ｸﾞﾗﾌでは直線で表されます｣
みたいに書いてあります｡

その通りなのですが､この部分をあまり理解しないで先に進むと苦手意識が深まります｡中にはこの段階でなんのこっちゃわからん!となる場合もあります｡

なので､まずはざっくりと意味をｲﾒｰｼﾞすることからやってみましょう｡

一次関数とは､まず初めにある決まった量があって､そこから一定の割合でその量が増えていく(減っていく)関係のことです｡
この初めは\(x=0\)の場合が多いです｡今は\(x=0\)の量(値)と覚えておけばOKです｡

例えば､初めお風呂に5ﾘｯﾄﾙの水があったとします｡

お風呂に水が入っているのを視覚的にｲﾒｰｼﾞしてみてください｡頭の中に写真でも動画でもいいので(その人の特性によって得意な方を使ってください)お風呂をｲﾒｰｼﾞしてください｡

こんな感じです｡

そこから水を1分間に2ﾘｯﾄﾙずつ入れていきますよ｡
蛇口から水がﾄﾞﾎﾞﾄﾞﾎﾞと入っていくところを同じように視覚的にｲﾒｰｼﾞしてください｡

どんどんお風呂の水が増えていきますよね。

1分経ちました｡水槽の中の水は初めのｲﾒｰｼﾞよりも増えていますね｡

では､実際に何ﾘｯﾄﾙになりましたか?

初めに5ﾘｯﾄﾙあって､1分後には2ﾘｯﾄﾙ増えているわけなので､5+2=7ﾘｯﾄﾙになりますよね｡

2分後はどうなりますか? 3分後はどうでしょうか? 10分後はどうなりますか?

お風呂の中の水がどんどん増えていきますよね｡
2分後には9ﾘｯﾄﾙ､3分後には11ﾘｯﾄﾙ､10分後は25ﾘｯﾄﾙになっています｡

今度は水を抜いていきます。

もし１分間に2ﾘｯﾄﾙずつ抜いていくとどうなるでしょうか?
頭の中で水が減っていく様子をイメージしてください。

1分後には、5-2=3ﾘｯﾄﾙになりますよね｡

このように初めにある量から一定の割合で増えたり減ったりする2つの関係のことを一次関数といいます｡
2つの関係というのは、上のお風呂の例で言うと「時間」と「お風呂の水の量」のことです。
また、一定の割合とは、どんな時も同じスピードで変化が起こることを意味します。

それを式で表すと､\(y=ax+b\) と表されるのです｡

上のお風呂の例では、
増える場合：\(y=2x+5\)
減る場合　：\(y=-2x+5\)

と表します。

\(y=ax+b\) の式の\(x\)に付いている(掛けてある) \(a\) は一定に割合でどのように変化をしていく量を表しているので「変化の割合」といいます。(グラフを書くときは「傾き」と言ったりします。後で説明します)

\(b\)は切片と言います。(私が学生の時は\(y\)切片と習った思います)
\(x=0\) の時の \(y\) の値のことです。

今回のお風呂の例では、初め（0分後）に水はすでに5リットル入っていました。だからこの場合 \(b=5\) になります。ここに一定の割合（1分間）に2リットルずつ増やしていきました。だから \(a=2\) になるのです。（減らす場合は \(a=-2\) ）

この関係を表で表します。\(x\) を時間、\(y\) をお風呂の水の量を表しています。

この表を見ると、\(x\) が1増えると、y が+2ずつ増えていくことがわかります。

このように \(x\) が１増える（増加量）ときの、\(y\) 増える量（増加量）のことを「変化の割合」と呼びます。

この表から一次関数の式を求めると \(y=2x+5\) となります。

もう一つ見てみましょう。

今度の場合は、\(x\) が1増えると、\(y\) が-3ずつ増えていくことがわかります。
(-3ずつ増えることは３ずつ減るのと同じ意味です)

ですから \(a=-3\)であることが読み取れます。
また、\(x=0\)のとき\(y=15\)なので、\(b=15\)が読み取れます。
合わせてこの表の関係を一次関数の式で表すと\(y=-3x+15\)となるわけです。

では実際に問題を解いてみましょう。

表から一次関数の式を求めてみよう

例題：次の表から一次関数の式を求めましょう。

例題の答え

例題1の答え

一次関数の式は\(y=ax+b\)ですから、\(a\) と \(b\) を求めれば良い訳です。

まずは、\(a\) から。

\(a\) は変化の割合でしたね。変化の割合の求め方は

ですね。これで求めた量は、\(x\) が1増えたときの \(y\) の増加量を表します。

例題1の場合、表から3ずつ増えていくのが読み取れます。

ですから、 \(a=3\) になります。

次に、 \(b\) を求めます。

\(b\) は\(x=0\) のときの \(y\) の値のことです。

表から、 \(x=0\) のときの \(y\) の値は 1 であることが読み取れますね。

ですから、 \(b=1\) になります。

よって答えは、

\(y=3x+1\)

です。

・ここで「値」と「増加量」の違いをしっかり押さえましょう。

「値」とは表や座標に書いてある「数字」のことを指します。

それに対して「増加量」とは「差」のことです。引き算して求める量のことです。

一次関数が苦手な人はこの「値」と「増加量」の区別がしっかりできていない場合が多いです。ここの違いをしっかり押さえて練習を積めば一次関数は必ず得意になりますよ。頑張ってください。

例題2の答え

例題1と同じように読み取ってください。

\(y\)の値が \(-5\) から \(-3\) に増えてますね。\(+2\)ずつ増えています。

ですから、\(a=2\)になります。

次に\(b\)です。 \(x=0\) のときの \(y\) の値は \(-5\) ですから、\(b=-5\) になります。

よって、

\(y=2x-5\)

になります。

例3の答え

同様に、表から \(a\) と \(b\) を読み取ります。

今度は、\(a\) が \(3\)ずつ減っていくのが分かりますね。

\(3\)ずつ減っていくということは、\(-3\)ずつ増えてくと同じことなので、

\(a=-3\) になります。

\(b\) は表から\(4\)と読み取れるので、\(b=4\)になります。

よって答えは、

\(y=-3x+4\)

です。

最後にちょっとした応用問題をやってみましょう。

応用例題

例題4答え

まずは\(a\) から求めます。

\(y\) の値がわかっているのは \(x=1\) のときと \(x=3\) なので、ここから \(x\) の増加量と\(y\) の増加量を求めます。

\(x\) の増加量は \(3-1=2\) ですね。

\(y\) の増加量は \(6-(-2)=8\) になりますね。

よって、変化の割合は

で求められるので、\(a=(8 \div 2) =4\) になります。

次に\(b\) ですが、切片は\(x=0\) のときの \(y\) の値ですが、今回は空欄なので計算して求めることになります。

変化の割合が \(4\) ですから、\(x\) が\(1\) 増えると \(y\) は \(4\)ずつ増えていきます。

\(x=1\) のとき \(y=-2\) なので、\(x=0\) のときは\(-2\) よりも\(4\)小さい値になることが分かります。

よって、\(-2-4=-6\) になります。

\(a=4\) , \(b=-6\) になるので、答は、

\(y=4x-6\)

になります。

例題5の答え

例題4と同じように考えます。

今度は \(y\) の値がわかっているのは \(x=1\) のときと \(x=4\) なので、ここから \(x\) の増加量と\(y\) の増加量を求めます。

\(x\) の増加量は \(4-1=3\) 、\(y\) の増加量は \(-5-1=-6\) になりますね。

よって、変化の割合は \(a=(-6 \div 3 )=-2\) と求めることができます。

次に \(b\) です。切片は\(x=0\) のときの \(y\) の値でしたね。

\(x=1\) のとき \(y=1\) なので、\(x=0\) のときは\(1\) よりも\(-2\)小さい値になることが分かります。

\(-2\)小さいと言うことは、\(+2\)大きいことになります。よって、\(1+2=3\) になります。

\(a=-2\),\(b=3\)になるので、答えは、

\(y=-2x+3\)

です。

表から一次関数の式を求める　まとめ

表から一次関数の式の求め方は、以下の流れになります。

• 一次関数の意味をイメージしながら理解する
• 変化の割合と切片の意味を理解する
• 練習

また、「値」と「増加量」の違いをしっかり区別するように意識しましょう。

理解できたら、学校のワークや教科書の例題などで練習してみてください。

きっとこの記事を読む前よりも、スラスラ解けているはずです。

コツをつかんでしまえば早く書けるようになりますからマスターして下さいませ。

では、行ってみましょう！

一次関数のグラフ書き方の手順

まず一次関数のグラフ書きです。

一次関数のグラフってこんな直線でしたね。

直線を書くには2点が取れれば書けます。

ですから、テストで時間をかけずにグラフを書くには「いかに早く2点を見つけること」が必要です。

一次関数のグラフの書き方：2点をすばやく見つけるためのコツ

例えば、\(y=2x+3\)のグラフ

変化の割合（傾き）が2で切片が3です。この傾きと切片の2つを押さえます。

そして、切片がスタート地点になります。この場合は３が1つ目の点（スタートの点）になります。

2点目の見つけ方

そして、変化の割合に注目します。

変化の割合とは、

でしたね。

ですから、変化の割合が２ということは、

この分母と分子に同じ数をかけていくと

になります。

これを図で表すとこんなイメージなります。

\(x\)の増加量は横の動き、\(y\)の増加量は縦の動きになります。

上のような変化の割合の三角形のイメージを頭に作って下さい。

まず、分母の数を横にとって、

次に、分子の数を縦に取ります。プラスの数なら上むき、マイナスなら下向きです。

例えば、変化の割合（傾き）が　3ならば、\(3=\frac{3}{1}\)のように 分数で考えて、変化の割合の三角形を作って2点目を決めます。

ただ、なるべく遠くに点を取って定規で線を引いた方がズレないので、2倍、3倍して\(\frac{6}{2}\)、\(\frac{9}{3}\)のように変化の割合の三角形を大きくして、2点目をはじめの点からなるべく離して取ると上手く書けます。

変化の割合（傾き）が分数の場合も同じです。

例えば、変化の割合（傾き）が\(\frac{2}{3}\)の場合、

右横に３行って上に２行ったところに2点目をクルクルっと取りましょう。

変化の割合（傾き）が負の数（マイナスの数）の場合

次に、変化の割合（傾き）が\(-\frac{2}{3}\)の場合です。

負の数の場合は、\(x\)の増加量は＋で\(y\)の増加量は−で考えます。

この場合は\(x\)の増加量は＋３、\(y\)の増加量は−２と考えます。

−の場合は下に矢印を書きます。

こんな感じです。

演習：\(y=\frac{3}{4}+2\)のグラフを書け

\(y\)軸上に切片の2を取ってグルグルっと丸く点をつけます

次に、変化の割合（傾き）の三角形を作ります。この場合は右横に４行って、上に３を取ります。

この2つの点を定規で結びます。

完成！！お疲れさま＾＾

一次関数のグラフの書き方：まとめ

1. 1点目は切片になる
2. 変化の割合（傾き）の三角形を作って2点目を見つける
3. 定規で直線に結ぶ

細かいポイント

• 直線はグラフ用紙の端から端まできちんと書きましょう
• グラフの横に問題番号やグラフの式を書きましょう
• 2点を取るときはなるべく離れている2点を結んだ方が綺麗な直線が書けます

勉強なんて慣れだから、1回でうまくいかなくても何回か練習すれば必ずうまく書けるようになりますよ！

頑張ってね＾＾

はじめに

「一次関数ってマジで意味わかんない！」

昨年、新入会の生徒から言われた言葉。

彼女は二学期の中間テストでやらかしてしまっての入塾でした。

数学はもともと嫌いで苦手な教科。特に一次関数に入ってからますます分からなくなったそうです。

そして、中間テストで今まで取ったことのない最低得点を取ってしまいました。

でも、その女子生徒は1年経った今「二次関数の応用問題」を解いてます。数学の成績も徐々に上がってます。

なぜその生徒は「一次関数ってマジで意味わかんない！」から「二次関数の応用問題」を解けるように変化したのでしょうか？

その理由を今回お話します。

この記事を読むといい人

• 一次関数で困っている人
• 一次関数ができるようになりたい人
• 問題を解く際に時間がかかるのでもっと速く問題を解けるようになりたい人
• 学校のテストをなんとかしたい人
• 数学を学ぶ際にとても重要な「抽象化」と「具体化」を学びたい人

これに当てはまる人は読んでみてください。

※そもそも「関数」ってなんなのかさっぱり分からない場合はこちらの記事↓を読んでから、この記事を読むと理解がさらに深まります。

これで一次関数は怖くない！中学生のための関数超入門ガイド

なぜ一次関数が苦手な人が多いのか？

私が思うに理由は2つあります。保護者説明会で話していた内容です。

1. 一次関数から「抽象化」など数学的な要素が増えるから
2. 反抗期に入りやすい中学2年生の夏頃に授業が行われるから

一次関数から数学を学ぶにあたり大切な「抽象化」の考えが必要になってくるので、今までよりも集中して取り組まないといけないのに、ちょうど反抗期に入りやすい時期に学習するので苦手な人が多くなると言うことです。

中学2年生の夏の頃って大人のことうざくなってくるし、高校受験まではまだ先だし。部活も3年生が引退するとメインになってきて練習もハードになるし。

勉強したく無くなることがどんどん増えてきます。

もちろん将来見据えてしっかり勉強できる人はいます。精神年齢が高い人や将来の夢があってそのために頑張っている人です。

ですが、13歳-14歳の頃にすでに夢があって目標に向かって突き進んでいる人ってまだまだ少ないです。

目標が無いのに勉強なんてできないですよね。それだったらYouTubeで動画を見たりゲームやったりしていたいし。

だから勉強する気にならない、やっても集中してないことが多くなるんですよね。実際、私も中学2年生の頃は勉強やってなかったもの。

しかも内容は難しくなるから、なおさらやる気なくなるし。

そんなわけで、一次関数が苦手な人が多いのです。

一次関数ができるようになるための3つのコツ

ではどうすればいいのか？って話に入ります。

実は一次関数ができるようになるにはコツがあるんですよ。そのコツを意識して勉強するのかしないのかで結果が変わるんです。

一次関数ができるようになるための時間も短くなるし、この後の数学の勉強の仕方も変わるので数学が得意になる可能性すら出てくるんですね。

そのコツには3つあります。

一次関数ができるようになるための3つのコツ

1. 抽象化を意識する
2. 増加量（変化量）と値（座標）の違いを頭に叩き込む
3. 基本的なパターン（バッテン代入など）を習得する

この３つです。

えっ！？「いきなり難しそう」

大丈夫です。ゆっくり分かりやすく説明しますね。

1.抽象化を意識する

抽象化ってWIKIで調べると「思考における手法のひとつで、対象から注目すべき要素を重点的に抜き出して他は捨て去る方法である」と書いてあります。

分かりやすく言うと、具体的な小さなことがらからもっと大きな概念に置き換えることです。

えっ！？何言ってるのか分からない。確かにこんな説明では分からないですよね、具体的に説明します。

抽象化の具体例1

まずはこの動画に出てくる短足マンチカンのプリンちゃん可愛いですよね。とっても可愛いので、最近よく見て癒されています笑。

この短足マンチカンのプリンちゃんを「抽象化」していきます。

まず、この「短足マンチカンのプリン」ちゃんは世界で唯一１匹ですよね。

少し抽象度を上げると、「茶トラの短足マンチカン」になります。

さらに上げると「茶トラの猫」になり、

どんどん抽象化していくと「猫」→「ほ乳類」→「脊椎動物」→「動物」→「生き物」

もうプリンちゃんはだけではなくなりました。探すのも大変そうです。

このように大きな概念に置き換えることを抽象化といいます。

抽象化の具体例2

数学の場合の抽象化はどうすればいいでしょうか？

数学では、具体的なことがらから表やグラフなどを作成していきます。

そして表やグラフから規則などを見つけていきます。そこからさらに公式を導いたりしていくことを抽象化というんですね。

具体的に説明します。

・例えば、いま水槽に３リットルの水が入っていて、そこに毎分２リットルずつ水を入れていくとします。この具体例を抽象化してみましょう。

左の図にあるように、すでに３リットル水は入っています。

ここに、毎分２リットルずつ水を入れていくわけです。

そうすると、1分後には５リットル、2分後には７リットルと水槽に水がたまっていきますよね。

その様子を表やグラフ化していきます。

次はグラフ化します。

たて軸に水の量、よこ軸は時間です。

はじめは３リットルで、そこに1分あたり２リットルずつ入りますから左のような右上がりの直線のグラフになります。

右上がりは「増えている」ことを表しています。

直線なのは決まった時間に入る水の量が一定（同じ）ということを表しています。

もちろん、問題の意味からではなく、表からグラフを作ってもOKです。

はじめは、水と水槽の話でした。ところが変化していく量を表やグラフにしていくと、そこにはすでに水も水槽も関係なくなります。ただの数字と線が書いてあるだけです。

この方が余計なこと考えないので、規則を見つけるには分かりやすいんですね。

このように、問題から表やグラフにすることが「抽象化」の第一歩です。

上の例の場合、時間と水槽にたまる水の量は　y=2x+3　 という一次関数の関係が導かれるわけです。

1-2:一次関数の抽象化でもっとも大切なこと（最重要事項）

「抽象化はなんとなくわかったけど、それを一次関数の問題を解くときにどうやって取り入れていけばいいのかがよく分からない……」

ではどうすればいいのか？

次の図を暗記してください！！！

 

一次関数の鉄則の使い方

一次関数の問題を解くときに、つまづくポイントとして問題の種類がたくさんあるので覚えきれないというのがあります。頭の中で「この問題どうやって解くんだっけ？」とゴチャゴチャしちゃうんですね。

表の空欄をうめたり、増加量を求めたり、変化の割合を求めたり、式を求めたり、グラフをかいたり、点が動いたり、図形と絡んで出題されたり……、

これ1つ1つのパターンを覚えようするには、まず1つ1つのパターンの理解と演習が必要なります。

大変ですよね。

そこで、上の鉄則をもう一度見てください。

実はこの鉄則を覚えるだけでほとんどの問題が解けてしまうですよ！

要は色々な種類の問題があるけれど、一次関数の問題の解き方って結局この鉄則なんだよってこと。

どんな問題があっても、結局のところまずは一次関数の一般式を求めることができればほぼ解決なわけですね。

ですから、それぞれの問題に対して鉄則の使い方がわかっていれば正直なところ鉄則を覚えていればほとんどの問題が解けてしまうということなんですよね。数学が得意な子供な無意識にそれが分かるので、サクサク解けてしまうんですよ。

ですから、一次関数が苦手ならまず鉄則を覚えてください。それから練習することであなたの一次関数を解く力は間違いなくアップするでしょう。

2.増加量（変化量）と値（座標）の違いを頭に叩き込む

私は一次関数を教えていて気をつけてることがあります。それは、増加量と値の違いをきっちりと教え込むことです。何度も確認します。それはしつこいくらい笑

なぜかというと、その違いがあいまいでできなくなるケースをたくさん見てきたからです。数学が得意な生徒や先生は頭がいいのでそんなこと当たり前じゃんって思っているようです。でもそこをしっかり教えない教師のクラスは一次関数が崩壊してるケースがよくあります。

次の表を見て増加量と値の違いを確認しましょう。

表の中にある黒い数字が値で、２つの数字の差にあたる赤い数字が増加量を表しています。

値は表や座標などで実際に書いてあるので確認しやすいですが、増加量は２数の引いた差なので目に見えないんですね。この2つを意識しながら問題を解くだけで正答率は高くなります。

基本的なパターン（バッテン代入など）を習得する

一次関数の式を求めるときに使う方法でバッテン代入と呼ばれている方法があります。

こんなのです。

こういういくつかよく使う方法はしっかり練習しましょう。一次関数は基本的に代入ができれば解けますから。

まとめ

一次関数について、「できるようになる3つのコツ」と題して書いてきました。少しレベルが高いと思った人もいるかもしれませんが、騙されたと思って、

1. 抽象化を意識する
2. 増加量（変化量）と値（座標）の違いを頭に叩き込む
3. 基本的なパターン（バッテン代入など）を習得する

を意識しながら解いて見て下さい。必ず結果は変わりますから。

一次関数のそれぞれの解き方については、パターン別にどんどん書いていきますのでお楽しみに。

さて、まずは学校の宿題やワークをやってみましょう。もちろん鉄則を意識して下さいね。