昨日の授業でとキレ気味で質問されました笑

一次関数は苦手意識を持つ生徒が多い分野です。ただでさえ苦手なのに、さらに点が動くとか意味が分からないし、どうやって解けばいいのか？

その「動点問題」の解き方を基本から分かりやすく解説していきます。

中2数学の一次関数の問題である意味ラスボス的な存在である「動点問題」。そんなラスボス対決のための手順を2つのパターンに分けて説明します。

一次関数の動点問題で出題される2つのパターン

下の問題を見てください。図は同じです。ただし違うところがあります。どこが違うでしょうか？

違う点がわかりましたか？

そうです。上の問題は \(x \)が長さだったのに対して、下の問題の \(x \)は時間(秒)になっています。

当然この違いは解き方の違いになるので、まずはここをしっかり確認しましょう。

一次関数の動点問題：\(x \)が長さの場合の解き方

まずは、\(x \)が長さの場合の解き方の説明から。

関数の利用の問題を解くときに重要なのは、\(x \)と\(y \)がそれぞれ何を表しているのかを把握することです。これがきちんとわかってないと問題は解けません。この問題の場合は\(x \)が長さで\(y \)は\(\triangle \textrm{APD}\)の面積です。

なので、三角形の面積の公式を思い出しましょう。

三角形の面積＝底辺×高さ÷２　でしたね。

ということは、底辺と高さが分かればこの問題は解けることになります。

ここでは辺ADを高さ、辺APを底辺として\(\triangle \textrm{APD}\)の面積を考えてみましょう。

AD＝6、AP=\(x \)になりますね。これを頭に入れて実際に問題を解いていきましょう。

では(1)から解説します。

(1) \(x \)の変域を求めなさい。

(1)は\(x \)の変域の問題です。

\(x \)の変域とは、\(x \)の変わる範囲のことです。一番短いときの値と一番長いときの値を考えて不等号で表します。

\(x \)は点Pが点Aから動いた距離を表します。ですから一番短いのは「点Pがまだ動いていないとき」＝「点Pが点Aと重なっているとき」ですね。ですから 0 cm になります。

点Pは点Bまで動くので、一番長いときは点Pが点Bにいるときなので、8 cm になります。

よって、答えは　　0 \(\leqq \) \(x \) \(\leqq \) 8 　になります。

＊中には面積が0なら三角形にならないので、0は含まないので、

(2) \(y \)の変域を求めなさい。

(2)は \(y \)の変域の問題ですね。

\(y \)は\(\triangle \textrm{APD}\)の面積でしたね。なので、\(\triangle \textrm{APD}\)の面積が一番小さいときの値と、一番大きいときの値を求めて不等号で表せばいいわけです。

AD＝6、AB＝\(x \)で、変化するのは\(x \)なので\(x \)の値によって面積が変化します。

\(\triangle \textrm{APD}\)の面積が一番小さいときって点Pがどこにあるときでしょうか？

それは点Pが点Aにあるときです。そのときの\(x \)の値は(1)より0でした。底辺が0なので面積は0になります。

次に面積が一番大きい時って点Pがどこにあるときでしょうか？

点Bにあるときが底辺が一番長くなるので面積が最大になります。

そのときの\(x \)の値は辺ABの長さと同じになるのでAB＝8になります。

よって、三角形の面積を求める公式に値を代入して計算すると、

\(\triangle \textrm{APD}\)＝8×6÷2＝24

になります。最小値が0で、最大値が24になるので、答えは

0 \(\leqq \) \(y \) \(\leqq \) 24

＊先生の中には面積が0のときは三角形にならないので0を含まないと指導される方もいます。

その場合の答えは、0 ＜\(y \) \(\leqq \) 24　　になります。担当する先生の指導に合わせてください。

(3) \(y\)を\(x\)の式で表しなさい。

「\(y\)を\(x\)の式で表しなさい」とは「\(y=\)」の形の式で表すことです。

この問題で\(y\)は\(\triangle \textrm{APD}\)のことでしたね。ですから三角形の面積の公式の通り\(x\)を使って面積を表せばいいわけです。

三角形の面積＝底辺×高さ÷２　

\(\triangle \textrm{APD}\)＝\(x\)×6÷2　　　を計算して

\(y=3x\)

これが答えです。

一次関数の動点問題：\(x \)が時間の場合の解き方

今度は\(x \)が時間の場合の解き方です。

コツ：時間\(x \)と速さ(毎秒2cm)から底辺を\(x \)を使って表す。

この問題の場合は\(x \)が時間なので、ここからAPの長さを計算する必要が出てきます。なのでこっちの問題の方が若干レベルが上なわけです。

では時間から長さを求めるにはどうすれば良いのか？

ヒントは点Pの速さが毎秒2cmです。

速さと時間が分かれば距離は計算できましたね。

距離＝速さ×時間

でした。ですからAPの長さは2×\(x \)になるので、\(2x \)と表せます。

この考えが難しいと思う人は次にように考えてもいいですよ。

毎秒2cmとは、1秒間に2cm動くということです。2秒なら4cm、3秒なら6cm、4秒なら8cmですね。

1秒　→　2cm

2秒　→　4cm

3秒　→　6cm

4秒　→　8cm

問題文には\(x \)秒後の\(\triangle \textrm{APD}\)を\(y \)とする。と書いてあるので\(x \)を使ってAPの長さを表します。

上の流れから時間の2倍が長さだとわかります。よってAPの長さは2×\(x \)になります。

では、問題を一緒に解いていきましょう。

(1) \(x \)の変域を求めなさい。

今回の問題の場合、\(x \)は時間でした。そして点Pは点Aから点Bまで動きます。

何秒かかるでしょうか？

毎秒2cmで動くので8cm動くのには4秒かかりますよね？よって最大の値は4ということです。

よって、

0 \(\leqq \) \(y \) \(\leqq \) 4

が答えです。

(2) \(y \)の変域を求めなさい。

この問題の考え方は上の(2)の問題と同じです。\(\triangle \textrm{APD}\)の面積の最小値と最大値を求めればいいので、

0 \(\leqq \) \(y \) \(\leqq \) 24

が答えです。

(3) \(y\)を\(x\)の式で表しなさい。

\(y\)は\(\triangle \textrm{APD}\)のことなので、三角形の面積の公式の通り\(x\)を使って面積を表せばいいわけです。

\(x\)は時間、秒速は2cmという条件を使って底辺を表します。上のコツで説明した通りAP＝2\(x \)と表せるので、公式に当てはめて

公式：三角形の面積＝底辺×高さ÷２　

\(\triangle \textrm{APD}\)＝\(2x\)×6÷2　　　を計算して

\(y=6x\)

が答えです。

テストによく出題される例

はじめの２問は点Pが点Aから点Bまでしか動きませんでした。この問題はさらに点Cを通り点Dまで動きます。

このように角で曲がる問題は、点PがA→B、B→C、C→Dのそれぞれの区間で三角形の変化の仕方が変わるので場合分けして考えていきます。今どの区間にあるのかを把握してその区間だけに集中して問題を考えましょう。

(1)点PがAからBまで動くときについて下記の問いに答えなさい。

ここは１つ上の問題と同じなので省略します。

(2)点PがBからCまで動くときについて下記の問いに答えなさい。

(ア)　\(x \)の変域を求めなさい。

(ア)は\(x\)の変域の問題です。変域の問題は最小値と最大値を求めれば良かったですね。

最小値はもちろんBにいるときですから、\(x\)は4になりますね(8÷2＝4)。（\(x\)は時間ですから距離÷速さで求めます）

最大値はCにいるときですから、6÷2＝3でさらに3秒かかるので4+3=7になりますね。もちろんAからBを通ってCまでの長さ14(8+6)を求めてから14÷2=7と計算してもOKです。よって、

4 \(\leqq \) \(y \) \(\leqq \) 7

が答えです。

(イ)\(y\)を\(x\)の式で表しなさい。

点PがBからCに移動しているとき、Pから辺ADにおろした垂線はずっと8cmになります。

よってこの区間はADを底辺、Pからおろした垂線を高さと見ると、底辺は6cm、高さは8cmの固定になるので、

\(\triangle \textrm{APD}\)の面積は、6×8÷2＝24になります。

よって答えは、

\(y=24\)

になります。右辺の24に\(x\)はつかないので気をつけましょう。

(3)点PがCからDまで動くときについて下記の問いに答えなさい。

(ア)　\(x \)の変域を求めなさい。

点PがCにいるとき、点Aから点Bを通って点Cまで8cm＋6cm=14cm移動しています。

かかる時間は、14÷2=7秒

点Dまでさらに8cmなので、8÷2=4。よって、7+4=11秒かかります。

したがって、\(x \)の変域は

7 \(\leqq \) \(y \) \(\leqq \) 11

になります。

(イ)\(y\)を\(x\)の式で表しなさい。

さあラスボスです。これが出来たら動点問題に自信を持っていいいですよ。

\(\triangle \textrm{APD}\)の底辺をAD、高さをPDと見ます。AD=6なので、あとはPDの長さを\(x\)を使って表すことができれば、公式に代入して式を立てることができます。

ではPDを\(x\)を使って表すとどうなりますか？よくあるのが8-\(2x\)です。CDの長さが8cmなので一見合っているように思えますが、違います。

なぜかというと、8-\(x\)という式では\(x\)はCPの長さを表します。ところが点Pってどこから出発したのでしょうか？

問題文に「点Pが点Aを出発して」と書いてあります。そうなるとAB＋BC＋CP=\(x\)ということになります。

なので、点Aから考えなくてはなりません。下の図がそのイメージです。

イメージできましたか？

上の図を見れば、PDの長さはAD-APで求められることが理解できると思います。

よって、PD＝AD-AP＝22-2\(x\) になります。

あとはこれを使って\(\triangle \textrm{APD}\)の面積の面積を表しましょう。

\(\triangle \textrm{APD}\)の面積＝底辺×高さ÷２＝AD×PD÷2＝6×(22-2\(x\))÷2

これを計算して、\(\triangle \textrm{APD}\)=-6\(x\)+66　になるので答えは

\(y\)=-6\(x\)+66

になります。

別解：\(y\)を\(x\)の式で表す問題をもっと簡単に解く方法

今までは図形的な発想でこの問題を解いてきました。でも中には図形が苦手な人もいるはず。

そこで、もっと計算でスラスラと解く方法を説明します。

それは対応表を作って計算して解く方法です。これなら一次関数の2点から直線の式を求める方法で解けます。

点PがA、B、C、Dにあるときの\(x\)と\(y\)を計算して下のような対応表を作ります。この問題の場合\(x\)は距離(\(cm\))ではなく、時間(秒)なので気をつけてくださいね。（＊時間＝距離÷速さで求めましょう。例えば、点Aの\(x\)を求める場合、AB間の距離＝8cm、速さは秒速 2cmなので、8÷2＝4になります）

この表を参考に、連立方程式や一次関数の変化の割合の求め方から式を求めていけばいいのです。

上の表を座標に置き換えれば、A( 0 , 0 )、B( 4 , 24 )、C( 7 , 24 )、D( 11 , 0 )になるので、座標の方が計算しやすい人はこのように変換して解いてください。

人それぞれ求めやすさの違いがあるので、自分が求めやすいやり方で練習してください。

まとめ：一次関数の動点問題の解き方　

・\(x\)や\(y\)が何を表しているのかを把握する。

・点Pがどの区間にいるのかをしっかり場合分けをして、その区間に集中して考える。

・図形で考えるのが難しいときは対応表を使って代数的に考える。

どうでしたか？解き方を理解したら、実際に手を動かして練習しましょう。問題を繰り返し解くことで、一次関数の中でラスボス的な存在である動点問題を楽々と解くことができるようになるでしょう。

分かった（理解できた）と出来るは同じではありません。まずは「理解する」こと、そして問題を解くことを繰り返して「出来る」ようになりましょう。

「関数って何だか難しそう…」「グラフとか記号がいっぱいで、もうイヤ！」

そんな風に思っている中学生の皆さん、こんにちは！

実は、関数は決して怖いものではありません。このガイドを読めば、関数の基本的な考え方から、グラフの読み解き方まで、スッキリと理解できるようになりますよ！

「これで関数は怖くない！」を合言葉に、一緒に一歩ずつ関数ワールドを探検してみましょう！

1-1. まずはイメージ！ブラックボックスで関数を体験

関数が苦手になる理由はいくつかありますが、一番大きいのは抽象の概念がもろに入ってくることです。

具体的な水槽の話から、数値の関係性を抽象化して表やグラフ、そして式を求めることから始まります。

その後にいきなり抽象化された数字だけの世界に放り込まれるので、抽象と具体の行ききを理解できないと「ここはどこ？」「私は誰？」状態になってしまい、関数ってわけわからん！？となるのです。

そこで、関数を理解するために関数とはこんなイメージなんだよってことを体験しましょう。

関数を理解するためによく使われる例えがブラックボックスです。

ここにブラックボックスがあります。

このブラックボックスの左側から入力して右側から出力します。

左側から色を入力して、ブラックボックスを通してある法則で右側から出力しました。このブラックボックスにはどんな法則があるか分かりますか？

そうです、「白を混ぜる」という法則ですね。

このように入力したものを「ある法則」に従って出力するものが関数なのです。

次はどんな法則で出力しているか分かりますか？

今度は入力した数を「4倍する法則」ですね。

関数では一般的に入力を \(x\) 、出力を \(y\) を使って表します。

上の図の関数を式で表すと、入力（\(x\)）した数値を4倍した数が出力（\(y\)）になるので、\(y=4x\) になるわけです。

ここで、\(x\) のことを独立変数、\(y\) のことを従属変数と言います。中学数学で変数という用語はさらっと紹介されます。簡単にいうと未知数のことです。

\(x\) のことを独立変数と呼ぶのは、\(x\) にはその関数の法則を抜きに(独立して)、どんな数字も当てはめることができるからです。

それに対して\(y\) のことを従属変数と呼ぶのは、その関数の法則に従って数が決まるからです。従属とは従ってという意味ですね。

詳しくは高校数学で学びます。

1-2. 大事なキーワード！「増加量」と「値」の違いをつかめ！

関数が苦手な人の特徴の1つに「増加量」と「値」の違いがよく分からず、ごっちゃになってしまっていることがあります。

「増加量」と「値」の違いをしっかり理解して使い分けることができると、途端に関数が得意になります。

増加量とは、その名の通り「増えている量」ですよね。

例えば、あなたは今3,000円持っているとします。お小遣いをもらって8,000円になりました。

この場合の増加量はいくらになりますか？

そうです、「5,000円」になりますよね。

この「5,000円」を計算で出すには8000-3000=5000と引き算で出します。

引き算の答えのことを「差」と言いますよね。

ですから増加量のことは「差」で求めるわけです。

それに対して「値」というのは\(x=3\)とか\(y=-2\)のように表せれます。

例えば、「\(x=3\)のとき\(y=-2\)で、\(x=7\)のとき\(y=10\)」の場合、

\(x\)は\(x=3\)から\(x=7\)になっているので、\(x\)の増加量は7-3=4になります。

\(y\)は\(y=-2\)から\(y=10\)になってます。ですから10-(-2)=10+(+2)=12になるわけです。

このように「増加量」と「値」というのは両方とも数字なのですが、意味が違います。

この違いをしっかり理解してそれぞれを求められるようになれば一次関数はすぐに得意になれますよ。

なぜかというと、一次関数で一番重要なのは「変化の割合」であり、「変化の割合」とはまさに\(x\)が1増加するときの\(y\)の増加量のことだからです。

「変化の割合」を求める公式は↓です。

\(y\)の増加量を\(x\)の増加量で割れば求めることができます。

ですから、増加量とは差のことである。引き算をして求めるんだ！と意識して覚えてくださいね。

その上で練習問題を解いていけば、関数の問題はすらすら解けるようになりますから。

2. 関数を式で表してみよう！【中２数学の基本】

2-1. \(y = ax\) ってどんな意味？比例の関係

まずは中学1年生で習った「比例」について復習しましょう。

比例とは「\(x\) が2倍、3倍…、になる\(y\) も2倍、3倍…になる関係」のことでしたね。

比例の一般式は、\(y=ax\) でした。この\(a\)のことを比例定数といいました。

比例とは\(x\)に入力された数にこの比例定数を掛け算した「法則」のことです。

ですから、比例定数\(a\)を求めることができたら、比例の謎は解けたようなものなのです。

求め方は、公式\(a=\frac{y}{x}\)で求めてもいいですし、一般式\(y=ax\) の\(x\)と\(y\)に問題文で分かっている値を代入して求めてもOKです。

実はこの \(y=ax\) という比例も一次関数の仲間なんです。

\(y=ax\) は\(y=ax+b\)の\(b\) が\(0\) の場合を表しているんですね。

\(y\)切片が \(0\) だから原点を通るわけです。

2-2. \(y = \frac{a}{x}\) 反比例も簡単理解!

中学１年生のときに比例と一緒に習った反比例についても少し見ていきましょう。

反比例の一般式は、

\[y = \frac{a}{x}\]

でしたね。

\(x\) が2倍、3倍となると、 それに従って\(y\)は \(\frac{1}{2}\)倍、\(\frac{1}{3}\)になる関係のことを反比例と言いました。

反比例でもこの\(a\)のことを比例定数といいます。（※反比例定数とは言いません）

小学校のではこの\(a\)のことを「決まった数」と教えています。

ですから、反比例とはこの決まった数を\(x\)に入力した数で割り算する「法則」で出力\(y\)が決まります。

反比例は一次関数の仲間ではありません。

一次関数は \(y=ax+b\)という一次式で表される関数です。反比例は \(y = \frac{a}{x}\) なので、\(x\)が分母にあります。この場合は一次式とは言わないので一次関数ではありません。

また一次関数は変化の割合が一定な関数です。

例えば、\(y=2x+3\)という一次関数があります。この変化を表で表すと、

となります。

この表から\(x\)が\(1\)増加すると、それに従って\(y\)が\(2\)ずつ増加するのが読み取れますね。

このように一次関数は変化の割合が一定です。

今度は反比例を見てみましょう。

\(y = \frac{2}{x}\)という反比例を表で表します。

表のように、\(x\)の増加量が一定ではありませんね。ですから反比例は一次関数ではありません。

2-3. いろんな関数にチャレンジ！一次関数って？

では、中学２年生で習う「一次関数」についてみていきます。

一次関数は \(y=ax+b\)という一次式で表される関数です。

\(a\)のことを変化の割合(傾き)、\(b\)のことを切片（※\(y\)切片）と言います。

ではどんな法則なのか？

それは、\(x\)に入力した数を何倍(かけ算)してから、さらにある数を足し算する「法則」です。

入力した数にかけ算するのは\(a\)変化の割合で、その後に足し算するのは\(b\)の切片です。

例えば、\(y=2x+3\) と言う一次関数の場合、\(x\)に入力した数を \(2\) 倍してから\(+3\)を足す法則のことです。

\(y=-3x-5\)の場合は、 \(x\)に入力した数を \(-3\) 倍してから\(-5\)を足す法則になるわけです。

一次関数の法則は2回の計算があるので、難しい印象を持ってしまうのかもしれません。

ただ、これも慣れの問題なので適切な方法で繰り返し練習すればできるようになります。

そのときに気をつけて欲しいのは上の「1-2. 大事なキーワード！「増加量」と「値」の違いをつかめ！」のところなので繰り返し読んで、問題を解くときに意識してくださいね。

一次関数の解き方のコツはこちらの記事をお読みください。

3 関数のまとめ

関数とは入力と出力の関係のことでした。\(x\)に入力してある法則にしたがって\(y\)を出力する関係のことです。

\(x\)に入力した数を何倍かする「法則」を比例、比例定数（決まった数）を\(x\)に入力した数で割っていく「法則」を反比例と言います。

一次関数は、\(x\)に入力した数を何倍かした後にある数を足し算する「法則」でした。入力した数に\(a\)変化の割合を掛け算してから、切片の数を足し算して出力する関係のことです。

比例や反比例は1回の操作(計算)で終わるのに、一次関数は2回の操作（計算）があるので難しい印象がありますが、慣れれば簡単に求められるようになるので、諦めずにマスターしてくださいね。

できるようになれば苦手から得意にも変わることができますよ｡頑張ってﾏｽﾀｰしてくださいね｡

一次関数実践編1:直線の式の求め方

一次関数の一般式は
\[y=ax+b\]
ですね｡

直線の式を求める問題はこの一般式の \(a\) と\(b\) がいくつになるのかを計算して求めればいいわけです｡

ですからまず一次関数の一般式における \(a\) と\(b\) の名前と意味を頭に入れておきましょう｡

ﾃｽﾄに出題されるﾊﾟﾀｰﾝを簡単な順に紹介します｡

出題例その1:\(a,b\)の2つともわかっている問題

いちばん簡単なﾊﾟﾀｰﾝです。次のような問題です｡

例題:次の条件を満たす直線の式を求めなさい｡
(1) 変化の割合が \(2\) で切片が \(-3\)

一次関数の一般式の\(a,b\)の名前を覚えていればあとはこの数字を式に当てはめること(代入)で答えになります｡

変化の割合は \(a\) で 切片は \(b\) ですから､答えは
\[y=2x-3\]
になります｡

(2) 傾きが \(\displaystyle-\frac{2}{3}\)で切片が \(5\)

(1)と同じように代入して求めます｡

\[ y=-\frac{2}{3}x+5 \]

この問題ができない場合は、まず上にある一般式の図を覚えましょう。

特に \(a \)は変化の割合と傾きの \(2 \)つの呼び方があるのでしっかり覚えてください｡

出題例その3: \(a,b \)のどちらかがわかっている問題

このﾊﾟﾀｰﾝは \(a,b \)のどちらかがわかっている場合です｡

例題:次の条件を満たす直線の式を求めなさい｡
(1) 変化の割合が\(3\)で､点\((2,-3)\)を通る直線

問題文から変化の割合\(3\) だと分かるよね。よって\(a=3\)です。

次に\(b\)を求めます。

\(a=3\)を一般式\(y=ax+b\)に代入すると、
\[y=3x+b\]
になるよね。

ここに、もう一つの条件である\((2,-3)\) を代入すると
\[-3=3\times 2+b\]
これを\(b\)の一次方程式として解くと
\[b=-9\]
よって、
\[y=3x-9\]
が答えになる。

(2)傾きが\(-2\)で､点\((-3,5)\)を通る直線

問題文から傾きが\(-2\) がわかるので、\(a=-2\)です。

(1)と同じように、

\(a=-2\)を一般式\(y=ax+b\)に代入すると、
\[y=-2x+b\]
になるよね。

ここに、もう一つの条件である\((-3,5)\) を代入すると
\[5=-2\times (-3)+b\]
これを\(b\)の一次方程式として解くと
\[b=-1\]
よって、
\[y=-2x-1\]
が答えです。

(3)切片が\(−3\)で､点\((2,5)\)を通る直線

今度は切片がわかっている場合。

問題文から切片は\(-3\)と分かるから、\(b=-3\)

これを一般式\(y=ax+b\)に代入すると、
\[y=ax-3\]
になる。

ここにもう一つの条件\((2,5)\)を代入する。

\[5=a\times 2-3\]

これを\(a\)の一次方程式として解くと

\[a=4\]

よって、

\[y=4x-3\]

が答え。

出題例その4:\(a,b\)の意味から考える問題

例題:次の条件を満たす直線の式を求めなさい｡
(1) \(x\)が\(3\)増加するとき\(y\)が\(12\)増加し､点\((-5,10)\)を通る直線

この問題は変化の割合の意味が分かっていないと解けません。

変化の割合とは、\(x\)が1増加したときの\(y\)の増加量のことでしたね。

この問題では、\(x\)が3増加するとき\(y\)が12増加するので、\(x\)が1あたり増加するときの\(y\)の増加量は、
\[12 \div 3=4\]
\(4\)になる。

よって\(a=4\)が分かる。
後は上の例題と同じやり方で解けます。

\(a=4\)を一般式\(y=ax+b\)に代入すると、
\[y=4x+b\]
になるよね。

ここに、もう一つの条件である\((-5,10)\) を代入すると
\[10=4\times (-5)+b\]
これを\(b\)の一次方程式として解くと
\[b=30\]
よって、
\[y=4x+30\]
が答え。

(2)傾きが\(3\)で､\(x=0\)のとき\(y=-4\)の直線

\(x=0\)のとき\(y=-4\)から\(b\)が\(-4\)だと分かる。

なぜかというと、切片\(b\)の意味は\(x\)が0のときの\(y\)の値のことだからだ。

だからこの問題は言い換えると、

「傾きが\(3\)で、切片が\(-4\)である直線の式を求めなさい」になるから、

\(a=3\)と\(b=-4\)を一般式\(y=ax+b\)に代入して、

\[y=3x-4\]
が答えになるんだ。

＊\(x=0\)のとき\(y=-4\)ということは\((0,-4)\)と同じだということも押さえておこう。

出題例その4:\(2\)点から直線の式を求める問題

\(2\)点から直線の式を求める問題は２通りのやり方があるので、あなたのやりやすい方で解きましょう。

1.連立方程式を立てて解く方法

教科書だとこっちがメインで解き方が載っている場合が多い。

要は、一般式\(y=ax+b\)にそれぞれの座標を代入して\(a,\ b\) の連立方程式として解けばいいのだ。例題(1)はこのやり方で解くね。

2.一次関数の意味を考えて解く方法

2点から変化の割合を求めてから、片方の座標を代入して解く方法。例題(2)はこのやり方で解きます。

例題:次の条件を満たす直線の式を求めなさい｡

(1) \((-2 , \ 3)\) , \( \ \) \((6 , \ -1)\)

1.連立方程式で解く方法

まず\((-2 , \ 3)\)から。左が\(x\)座標、右が\(y\)座標なので、\(x=-2,\ y=3 \)になります。

これを一般式\(y=ax+b\)に代入すると、\(3=-2a+b\)になるので、左辺と右辺を入れ替えると、

\[-2a+b=3\]

同じように、\((6 , \ -1)\)も代入して

\[6a+b=-1\]

これらの2つの式を\(a,\ b\) の連立方程式として解けば良いわけです。

\(b\)の係数が1で揃っているので、上の式から下の式を引き算すれば\(a\)が求められますね。

\(a =\displaystyle-\frac{1}{2} \)

これを上下どちらかに代入すれば、\(b=2\)が求められます。

よって、答えは

\[ y=-\frac{1}{2}x+2 \]

となります。

(2) \(x＝2のときy ＝3\), \( \ \) \(x ＝-1のときy ＝-9である。\)

2.一次関数の意味を考えて解く方法

まず変化の割合を求めます。

変化の割合は、\(y\)の増加量を\(x\)の増加量で割り算すれば求められましたね。

この例題の場合、\(x=2\)から\(x=-1\)に変化していると考えます。

\(3\)減ってますよね。これを言い換えると「\(-3\)増加している」になります。

\(y\)は\(3\)から\(-9\)に\(12\)減ってますよね。これは「\(-12\)増加している」と捉えます。

よって、変化の割合は

\[-12 \div (-3)=4\]

になります。

\(a=4\)が分かったので、ここから\(b\)を求めます。

ここからは上の例題と同じ計算になります。

まず、一般式\(y=ax+b\)に\(a=4\)を代入します。\(y=4x+b\)になりますね。

次にこの\(y=4x+b\)の式に、(x＝2のときy ＝3), ( \ ) (x ＝-1のときy ＝-9)どちらかの条件を代入して\(b\)を求めてください。

そのときのコツは計算が楽になりそうな方を選ぶことです。今回は(x＝2のときy ＝3)の方が楽そうなのでこれを代入して計算します。

\[3=4 \times 2+b\]

この式から、\(b=-5\)が求められます。

よって答えは、

\[y=4x-5\]

になります。

まとめ　一次関数実践編1:直線の式の求め方　

まずは一般式を覚えましょう。

そして変化の割合（傾き）と切片の意味を理解して、問題を解くときにどのように使うのかを意識しましょう。

あとは教科書や学校のワークなど問題をある程度の数を解いて慣れていきましょう。

勉強は、結局のところ慣れなので。

解き方を理解てして、慣れるまで繰り返して解くこと。

これがコツになります。

この記事を読めば、一次関数のざっくりとした意味合いが分かり表やグラフから直線の式を求められるようになります。

この記事を読んだ方がいい人

• 一次関数の基本がわからない人
• 一次関数の表から直線の式を求められない人
• 一次関数のグラフから直線の式を求められない人
• 一次関数を得意にしたい人

では、いってみよう！

一次関数が苦手な人にまず意識して欲しいこと

苦手に人は一次関数の基本的な意味合いがわかっていない場合がほとんどです｡

基本的な意味を理解して手順を踏んで問題を解いていけばできるようになります｡

ですから､まずは一次関数とはどんな意味なのかざっくりとでいいので理解しましょう｡このときのｺﾂは意味を視覚的にｲﾒｰｼﾞして理解することです｡

その次に\[y=ax+b\] という式は何を表しているのかを理解しましょう｡

その上で問題を解いて練習していけば必ず解けるようになります。

ざっくりと意味を理解してｲﾒｰｼﾞしよう

意味を理解するときに大切なことは､その状況を視覚的なｲﾒｰｼﾞをしながら理解していくことです｡

もちろん中には文章(ﾃｷｽﾄ)で理解が進む人もいます｡ただ､長年の経験やその手の本を読むと視覚的に理解することが優位な人が多いという印象です｡

私も新しいことを理解するときはできるだけ写真のようにｲﾒｰｼﾞするようにしています｡そうすると理解も進むし比較的楽に覚えられます｡私は写真のように静止画で覚えるのが得意ですが､中には動画のように動きを加えて覚えるのが得意な生徒もいます｡

どちらが得意なのかは過去の出来事を思い返してみてください｡その時に静止画と動画のどちらの方が多いのかで決めてください｡

では､実際にｲﾒｰｼﾞをしながら一次関数をざっくりと理解していく練習をしてみましょう｡

教科書や参考書を見ると､最初に水槽やﾊﾞﾈについての具体的な数字を使って説明があります｡中学1年生の時に習った比例と比較して説明する場合が多いです｡

そして､
｢一次関数は｢ \(y = ax + b\) ｣のように｢\(y\) = 一次式｣で表せる関数と定義されています｡ｸﾞﾗﾌでは直線で表されます｣
みたいに書いてあります｡

その通りなのですが､この部分をあまり理解しないで先に進むと苦手意識が深まります｡中にはこの段階でなんのこっちゃわからん!となる場合もあります｡

なので､まずはざっくりと意味をｲﾒｰｼﾞすることからやってみましょう｡

一次関数とは､まず初めにある決まった量があって､そこから一定の割合でその量が増えていく(減っていく)関係のことです｡
この初めは\(x=0\)の場合が多いです｡今は\(x=0\)の量(値)と覚えておけばOKです｡

例えば､初めお風呂に5ﾘｯﾄﾙの水があったとします｡

お風呂に水が入っているのを視覚的にｲﾒｰｼﾞしてみてください｡頭の中に写真でも動画でもいいので(その人の特性によって得意な方を使ってください)お風呂をｲﾒｰｼﾞしてください｡

こんな感じです｡

そこから水を1分間に2ﾘｯﾄﾙずつ入れていきますよ｡
蛇口から水がﾄﾞﾎﾞﾄﾞﾎﾞと入っていくところを同じように視覚的にｲﾒｰｼﾞしてください｡

どんどんお風呂の水が増えていきますよね。

1分経ちました｡水槽の中の水は初めのｲﾒｰｼﾞよりも増えていますね｡

では､実際に何ﾘｯﾄﾙになりましたか?

初めに5ﾘｯﾄﾙあって､1分後には2ﾘｯﾄﾙ増えているわけなので､5+2=7ﾘｯﾄﾙになりますよね｡

2分後はどうなりますか? 3分後はどうでしょうか? 10分後はどうなりますか?

お風呂の中の水がどんどん増えていきますよね｡
2分後には9ﾘｯﾄﾙ､3分後には11ﾘｯﾄﾙ､10分後は25ﾘｯﾄﾙになっています｡

今度は水を抜いていきます。

もし１分間に2ﾘｯﾄﾙずつ抜いていくとどうなるでしょうか?
頭の中で水が減っていく様子をイメージしてください。

1分後には、5-2=3ﾘｯﾄﾙになりますよね｡

このように初めにある量から一定の割合で増えたり減ったりする2つの関係のことを一次関数といいます｡
2つの関係というのは、上のお風呂の例で言うと「時間」と「お風呂の水の量」のことです。
また、一定の割合とは、どんな時も同じスピードで変化が起こることを意味します。

それを式で表すと､\(y=ax+b\) と表されるのです｡

上のお風呂の例では、
増える場合：\(y=2x+5\)
減る場合　：\(y=-2x+5\)

と表します。

\(y=ax+b\) の式の\(x\)に付いている(掛けてある) \(a\) は一定に割合でどのように変化をしていく量を表しているので「変化の割合」といいます。(グラフを書くときは「傾き」と言ったりします。後で説明します)

\(b\)は切片と言います。(私が学生の時は\(y\)切片と習った思います)
\(x=0\) の時の \(y\) の値のことです。

今回のお風呂の例では、初め（0分後）に水はすでに5リットル入っていました。だからこの場合 \(b=5\) になります。ここに一定の割合（1分間）に2リットルずつ増やしていきました。だから \(a=2\) になるのです。（減らす場合は \(a=-2\) ）

この関係を表で表します。\(x\) を時間、\(y\) をお風呂の水の量を表しています。

この表を見ると、\(x\) が1増えると、y が+2ずつ増えていくことがわかります。

このように \(x\) が１増える（増加量）ときの、\(y\) 増える量（増加量）のことを「変化の割合」と呼びます。

この表から一次関数の式を求めると \(y=2x+5\) となります。

もう一つ見てみましょう。

今度の場合は、\(x\) が1増えると、\(y\) が-3ずつ増えていくことがわかります。
(-3ずつ増えることは３ずつ減るのと同じ意味です)

ですから \(a=-3\)であることが読み取れます。
また、\(x=0\)のとき\(y=15\)なので、\(b=15\)が読み取れます。
合わせてこの表の関係を一次関数の式で表すと\(y=-3x+15\)となるわけです。

では実際に問題を解いてみましょう。

表から一次関数の式を求めてみよう

例題：次の表から一次関数の式を求めましょう。

例題の答え

例題1の答え

一次関数の式は\(y=ax+b\)ですから、\(a\) と \(b\) を求めれば良い訳です。

まずは、\(a\) から。

\(a\) は変化の割合でしたね。変化の割合の求め方は

ですね。これで求めた量は、\(x\) が1増えたときの \(y\) の増加量を表します。

例題1の場合、表から3ずつ増えていくのが読み取れます。

ですから、 \(a=3\) になります。

次に、 \(b\) を求めます。

\(b\) は\(x=0\) のときの \(y\) の値のことです。

表から、 \(x=0\) のときの \(y\) の値は 1 であることが読み取れますね。

ですから、 \(b=1\) になります。

よって答えは、

\(y=3x+1\)

です。

・ここで「値」と「増加量」の違いをしっかり押さえましょう。

「値」とは表や座標に書いてある「数字」のことを指します。

それに対して「増加量」とは「差」のことです。引き算して求める量のことです。

一次関数が苦手な人はこの「値」と「増加量」の区別がしっかりできていない場合が多いです。ここの違いをしっかり押さえて練習を積めば一次関数は必ず得意になりますよ。頑張ってください。

例題2の答え

例題1と同じように読み取ってください。

\(y\)の値が \(-5\) から \(-3\) に増えてますね。\(+2\)ずつ増えています。

ですから、\(a=2\)になります。

次に\(b\)です。 \(x=0\) のときの \(y\) の値は \(-5\) ですから、\(b=-5\) になります。

よって、

\(y=2x-5\)

になります。

例3の答え

同様に、表から \(a\) と \(b\) を読み取ります。

今度は、\(a\) が \(3\)ずつ減っていくのが分かりますね。

\(3\)ずつ減っていくということは、\(-3\)ずつ増えてくと同じことなので、

\(a=-3\) になります。

\(b\) は表から\(4\)と読み取れるので、\(b=4\)になります。

よって答えは、

\(y=-3x+4\)

です。

最後にちょっとした応用問題をやってみましょう。

応用例題

例題4答え

まずは\(a\) から求めます。

\(y\) の値がわかっているのは \(x=1\) のときと \(x=3\) なので、ここから \(x\) の増加量と\(y\) の増加量を求めます。

\(x\) の増加量は \(3-1=2\) ですね。

\(y\) の増加量は \(6-(-2)=8\) になりますね。

よって、変化の割合は

で求められるので、\(a=(8 \div 2) =4\) になります。

次に\(b\) ですが、切片は\(x=0\) のときの \(y\) の値ですが、今回は空欄なので計算して求めることになります。

変化の割合が \(4\) ですから、\(x\) が\(1\) 増えると \(y\) は \(4\)ずつ増えていきます。

\(x=1\) のとき \(y=-2\) なので、\(x=0\) のときは\(-2\) よりも\(4\)小さい値になることが分かります。

よって、\(-2-4=-6\) になります。

\(a=4\) , \(b=-6\) になるので、答は、

\(y=4x-6\)

になります。

例題5の答え

例題4と同じように考えます。

今度は \(y\) の値がわかっているのは \(x=1\) のときと \(x=4\) なので、ここから \(x\) の増加量と\(y\) の増加量を求めます。

\(x\) の増加量は \(4-1=3\) 、\(y\) の増加量は \(-5-1=-6\) になりますね。

よって、変化の割合は \(a=(-6 \div 3 )=-2\) と求めることができます。

次に \(b\) です。切片は\(x=0\) のときの \(y\) の値でしたね。

\(x=1\) のとき \(y=1\) なので、\(x=0\) のときは\(1\) よりも\(-2\)小さい値になることが分かります。

\(-2\)小さいと言うことは、\(+2\)大きいことになります。よって、\(1+2=3\) になります。

\(a=-2\),\(b=3\)になるので、答えは、

\(y=-2x+3\)

です。

表から一次関数の式を求める　まとめ

表から一次関数の式の求め方は、以下の流れになります。

• 一次関数の意味をイメージしながら理解する
• 変化の割合と切片の意味を理解する
• 練習

また、「値」と「増加量」の違いをしっかり区別するように意識しましょう。

理解できたら、学校のワークや教科書の例題などで練習してみてください。

きっとこの記事を読む前よりも、スラスラ解けているはずです。

今回は数学1の集合について何回かにわけてわかりやすく説明していきます。

ここは新しい用語や記号がたくさん出てくるので混乱しやすい分野です。

だから、まずはひとつひとつの言葉と記号をしっかり理解していきましょう。

イメージしながら理解していくのがお勧めです。

その上で練習問題を解いてください。

そうすればいつの間にか友達に教えられるようになってますよ。

細かい用語の定義はわかっているから、すぐに問題の解き方を学びたい人は目次から「問題演習」をクリックしてください。

では、いってみよう

集合のイメージ

あなたが1年A組の生徒だとします。このクラスの生徒数は36名で、１つの班が6名の６つの班があります。

あなたは２班のメンバーだとします。

1年A組の生徒が集まると「1年A組」という「集合」ができます。

そしてクラスのそれぞれの生徒のことを「要素」といいます。

また、あなたはこのクラスのメンバーです。これを数学的に言い表すと”あなたは1年A組という集合に「属する」”と言います。

ここまでで、「集合」「要素」「属する」という３つの用語が出てきました。それぞれイメージできましたか。

そしてあなたは「2班」でした。この「2班」というのも6名の生徒が集まる「集合」になります。

この「2班」は「1年A組」という「集合」のメンバー(要素)で成り立っています。この場合「2班」という集合は「1年A組」という集合のメンバー(要素)からできています。こういうとき「2班」という集合は「1年A組」という集合の「部分集合」と呼びます。

たくさん用語が出てきました。

あと１つだけ覚えてください、それは「補集合」です。

あなたは「2班」でした。このクラスには当然「2班」以外の生徒もいるわけです。

このような「2班」以外の生徒のことを「2班」の補集合といいます。

どうですか、
何となくイメージは湧きましたか。

ここで用語の意味をまとめましょう。

集合とは何なんだ？：集合・要素・部分集合・補集合とかその他諸々

ここから用語の意味を説明しますね。

・集合

教科書を見ると「含まれるものがはっきり定まるものの集まり」と書いてあります。

だから、「体重が軽い人の集まり」とか「可愛いねこの集まり」とかは各個人によって意見が分かれることがありますよね。はっきり定まらないので数学で言うところの「集合」とは言えないわけです。

数学の問題で出題される「1桁の自然数」とか「100から500までの整数」などは含まれるものがはっきりの定まりますよね。

こんな風に「含まれるものがはっきり定まるものの集まり」のことを集合といいます。

・要素

次は要素です。要素とはその集合をつくっている「1つ1つのもの」のことです。

例えば、ある集合Aがあってその要素が「1桁の自然数」であれば、その要素はA={1,2,3,4,5,6,7,8,9}と表すことができます。

この1とか2とかそれぞれが集合Aの要素です。

要素は括弧の記号{   }の中に「,」カンマで区切って書いていきます。カンマは「左」払います。「、」のように右に払うとバツにされることがあるので気をつけましょう。

また、Aは {n | nは１桁の自然数} と要素の代表であるnを書いてから「|」縦線を書いて「nを満たす条件」を書いて示す方法もあります。（読み方について聞かれる場合があります。私は高校時代の数学の先生から縦線｜は「ただし」と読むんだよと教わりました。ですから{n | nは１桁の自然数} の場合「n、ただしnはひとけたのしぜんすう」と読むわけですね）

特にこの「条件を書く方法」が分からないという質問が多いので、早めに理解しておきましょう。

具体例：条件を書く方法

A={ n | nは 5 以下の自然数}であれば、A={ 1.2.3.4.5 }

A={ 5n | n=1,2,3}であれば、その要素はそれぞれ 5×1=5,5×2=10,5×3=15と計算できるのでA＝{ 5,10,15 }になります。

A={ x｜-2≦ x≦3を満たす整数}であれば、A={-2,-1,0,1,2,3}になるわけです。

・集合の種類

集合には「有限集合」「無限集合」「空集合」の３種類があります。

「有限集合」とは、「1桁の自然数」みたいに要素が有限(数に限りがある)な集合のことです。上の例にある1年A組も人数が36人なので有限集合ですね。

「無限集合」とは、「正の数全体」みたいに要素が無限(数に限りが無い)な集合のことです。

「空集合」とは、要素が1つも無い集合のことです。記号で「∅」と表します。

読み方は私が学生時代には学校で「ファイ」と習ってました。これはギリシア文字の「φ」のことですが、実は違うそうです。

数学の先生から習っていましたし、いくつかの参考書ではいまだにそのように書いてあるものもありますが……。

生徒に聞いたら、学校の教師はそのまま「空集合」と読むケースが多いようです。

・部分集合

上の教室の例でいくと、全体集合は「1年A組」です。

部分集合「班」になります。「1班」「2班」「3班」……、それぞれが「1年A組」の部分集合になります。

これを数学の記号を使って表してみます。

「1年A組」を集合A、「2班」を集合Bとします。

この場合

$$  A  supset B    $$

とか

$$ B subset A $$

となります。

読み方は「AはBを含む」や「BはAに含まれる」です。

・補集合

集合では、まず１つの集合Uを決めてそのUの部分集合について考えることが多いんですね。この場合Uを全体集合といいます。Uの中に部分集合Aがあるとします。その部分集合Aに属さない要素全体の集合を、Uに関するAの補集合といい、

$$ overline{A} $$

と表します。

読み方は「Aバー」や「補集合A」です。

この補集合の考えはとても重要なのでしっかり覚えておきましょう。特に数学Aの場合の数・確率で威力を発揮します！

では、実際に問題を解いてみましょう。

問題演習

・集合を表してみよう

問題1：1から10までの集合Aを表せ。

そのまま要素を書き出す方法では、

$$ A={1, 2,3,4,5,6,7,8,9,10 } $$

条件を書き出す方法では、

$$ A={x | x text{は自然数,1≦ x ≦10}} $$

となります。

問題2：次の集合を要素を書き並べて表せ。

(1) 7以下の自然数全体の集合

(2) 3桁の5の倍数全体の集合

(3) { x | -4 < x < 3, xは整数 }

(4) { x | x は10以下の正の奇数 }

(5) { x | x は6の正の約数 }

(6) { n | n=2k, k=1, 2, 3}

(7) {4n-1 | n=1, 2, 3, 4,…… }

(8) { x | x は | x |<0 を満たす整数 }

問題2：答え

(1) { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 }

(2) { 100, 105, 110,……, 995 }

(3) {-3, -2, -1, 0, 1, 2 }

(4) { 1, 3, 5, 7, 9 }

(5) {1, 2, 3, 6}

(6) {2, 4, 6}

(7) {3, 7, 11, 15,……}

(8) { ∅ }

問題2：解説

(1) 自然数とは「正の整数」のことでしたね。なので、0は入りません。7以下なので7も含みません。もし7未満なら7は含まないので注意してください。

(2) 5の倍数は1の位の数が「0 か 5」になります。ですから100から995までで1の位が「0 か 5」の数です。この場合のように書き出す要素がたくさんある場合の集合の書き方ですが、答えのように3つ書いて途中は「…」でつないで一番最後の数を1つ書きます。

(3) -4から３までの整数を書くのですが、「＜」は下に「＝」がついてないので-4と3は含みません。

(4) 10以下の正の奇数なのでそのまま奇数を書きましょう。

(5) 6の約数とは6を割り切ることができる数です。

(6) n=2kの式のkにk=1, 2, 3と順番に代入して計算した値(答え)を書いていきます。2×1=2, 2×2=4, 2×3=6。

(7) 4n-1のnにn=1, 2, 3, 4,…と順に代入して計算した値を書いていきます。この場合(6)と違って無限集合です。問題文にあるように1から4まで順に代入した値を書いたらその後は…と書きましょう。4×1-1=3, 4×2-1=7, 4×3-1=11, 4×4-1=15, …

(8) ｜｜は絶対値の記号ですね。絶対値は原点からの距離を表すので負の数はありません。よってこの場合は、要素がないので答えは空集合「∅」になります。

最後に

どうでしょうか。ここまで理解できて問題も解けましたか？

勉強って要は「慣れ」なんですよね。特に新しい単元に入ると理解しながら記憶していかなければならないので、難しいと感じてしまう訳です。上の問題が自力で解けるようになったら教科書やワークの練習をやって更に慣れてくださいね。

次回２回目は、2つの集合を比べて「共通部分」や「和集合」について説明していきます。特に「補集合」が絡んだ問題や「ド・モルガンの法則」についてもわかりやすく丁寧に説明していきます。

今回は、因数分解が苦手な人がやりがちなミスを取り上げます。

まず、この問題あなたは解けますか？

$$4x^2-36y^2$$

解けましたか？

解けましたね？

$$(2x+6y)(2x-6y)$$

になりましたか？

なった人はこのサイトを見て良かったですね！

正解は、

$$4(x+3y)(x-3y)$$

です！

共通因数でくくることを忘れている

因数分解の大鉄則は”共通因数があったら必ずくくる”です！

大切なのでもう一度言います。

因数分解の大鉄則は”共通因数があったら必ずくくる”です！

なので、$$4x^2-36y^2$$は$$4$$が共通因数なので、乗法公式を使う前に$$4$$でくくりださなければなりません。

私は教育業界で30年以上指導していますが、この問題に引っ掛かって点数を落とした生徒をたくさん見てきました。

だからテスト前には必ずこの手の類題を解かせるようにしています。

特に、1問前に$$25x^2-49y^2$$みたいな問題を入れておくとかなりの割合で引っ掛かります。

なぜかというと、和と差の積の公式を使った直後なので、$$4x^2-36y^2$$を見たときに$$(2x)^2と(6y)^2$$が見えてしまうからなんです。

なので、因数分解の問題を解くときには必ず「共通因数」があるかどうかの確認をしてください。

＊ベテランの教師は問題の配列で平均点を操作しています。

1を意識していない

次はこの問題です。

$$x^2-13x+12$$

似たような問題で、$$x^2-8x+12$$ とか

$$x^2-7x+12$$ とかあります。

この２題は正答率高いです。

でも、$$x^2-13x+12$$は低くなります。

それはなぜかと言うと、

因数分解で乗法公式を使うとき、まず1番右にある数字に注目しますよね？

$$x^2-13x+12$$なら、掛けて12になる数字の組み合わせを考えますね。

そのときに、$$2 times 6$$や$$3 times 4$$はすぐに思いつきます。

ところが、$$12 times 1$$は気づきにくいんですよね。

特に右の数字がマイナスの数の場合

$$x^2+35x-36$$とか。

これは1を意識することで解決します。

また、少し難易度が上がりますが、

$$a(x-3)-(x-3)$$

この手の問題も質問が多く、テストでも間違いが多い問題です。

答えは、$$(x-3)(a-1)$$です。

左の項と右の項の共通因数は(x-3)ですね。

これでくくるのですが、右の項に(x-3)以外の文字や数字がないので「？？？」ってなってしまい悩んでしまうんですね。

$$a(x-3)-(x-3)$$を丁寧に書くと、

$$atimes(x-3)-1 times(x-3)$$

になるので、これなら答えが$$(x-3)(a-1)$$なるのが納得いくのではないでしょうか。

同様に$$x^2y-x$$も同じです。

これは、$$x(xy-1)$$が正解です。

なので、1を意識することで、この手の問題のミスはかなりの確率で防げるようになります。

あとは経験値です。「共通因数」「 1」を意識しながらたくさん問題を解きましょう！

平方数を意識していますか？

平方数とは、同じ数を2回掛け算した数のことです。

具体的には、1,4,9,16,25,49,64,81,100,121,144,169,196,225……、

上は1から15までの平方数です。平方根の問題を解くときにも役に立つので今のうちに覚えておくと数学の点数が上がりますよ♫

では、どのように意識するかというと、

$$x^2+12x+36,quad x^2+15x+36$$

のように、1番右の数字が平方数の場合の問題です。

これは乗法公式のⅡとⅢの公式

$$x^2+2ax+a^2$$や$$x^2-2ax+a^2$$

かどうかを見抜く力を養います。

例えば、上の例題の場合、1番右の数字は36なので6の平方数になりますよね。

$$36=6^2$$

ってことです。

このとき、真ん中のxの係数が6の2倍になっていれば、乗法公式ⅡかⅢにあてはまります。xの係数の符号が＋ならⅡ、-ならⅢになるわけです。

$$x^2+12x+36,quad x^2+15x+36$$

の場合、左の問題は12は6の2倍で符号が＋なので乗法公式のⅡになります。よって、

$$(x+6)^2$$

左の問題は、$$(x+3)(x+12)$$

ということは、平方数を意識することで、乗法公式を見抜く力が高まると言うわけです。

ぜひこれを機会に1から15までの平方数は覚えておきましょう。

補足：展開でやりがちなミス

おまけで、展開の問題でやりがちなミスも紹介しておきますので、チェックしておいてくださいね。

文字がaなのに真ん中文字がxに…

これは習い始めた頃に起こりやすいミスです。

$$(a+3)(a-5)=a^2-2x-15$$

どこが間違いか気づきましたか？

そうです、真ん中の項の文字がxになっちゃってますよね。

特に初めの頃は文字がxの展開が多いので印象に残ってしまって起こるんです。

$$(a+3)(a-5)$$みたいに文字が、$$x$$ではなくて$$a,quad m$$など、他の文字の場合に起こりがちなミスです。

これを読んでる人の中にも「やったことある」と思った人もいるのではないでしょうか？

真ん中のyやbが消えてる

これは、$$(x+5y)(x-3y),quad (a-4b)(a+2b)$$みたいに多項式の右の項が数字だけではなく、文字も含む場合です。

これが$$x^2+3x-15y^2,quad a^2-2a-8b^2$$のようなミスです。

正解は$$x^2+3xy-15y^2,quad a^2-2ab-8b^2$$

これもよくあるミスです。

このミスを減らすには、ミスした問題の分析を「ケアレスミス」と大雑把にするのではなくて、「右にyとかbがあったときに、真ん中の項に書き忘れたから要注意！」と細かく分析して頭の中に「要注意！」と意識して残しておきましょう。そうすれば脳は次の時には意識するのでミスは減ります。

文字の２乗が消滅

まずは、上の問題の1番右の文字の2乗を書き忘れるケースです。

$$x^2+3xy-15y,quad a^2-2ab-8b$$

みたいなミスのことです。

これもあるあるです。正解は、x^2+3xy-15y^2,quad a^2-2ab-8b^2$$ですよね。

また、$$(xy+3)(xy-5)$$みたいに１つの項に文字が２つある場合

$$xy^2-2xy-15$$みたいなミスもあるあるです。

正解は、$$x^2y^2-2xy-15$$

どこが間違いなのか気がつきましたか？

中には気がつかないで丸をつけている生徒もいます。（結構多いんだよ、これが！）

1番左の項に注目してください。初めの文字を2乗するのを忘れてしまうケースです。

まとめ：ミスを減らして成績をアップさせるには？

では、このようなミスを減らすにはどうしたら良いのでしょうか？

それは、計算ミスをただの「ケアレスミス」だから大丈夫で終わらせないことです。

「ケアレスミス」だから大丈夫と思ってしまうと、テストで同じミスをしてしまう可能性が高まります。

なので、ミスの分析を「ケアレスミス」で終わらせないで、もう少し細かく分析して次に活かせるようにするとミスが減ります。

よって、得点がアップして成績が上がりますよ！

頑張って！

コツをつかんでしまえば早く書けるようになりますからマスターして下さいませ。

では、行ってみましょう！

一次関数のグラフ書き方の手順

まず一次関数のグラフ書きです。

一次関数のグラフってこんな直線でしたね。

直線を書くには2点が取れれば書けます。

ですから、テストで時間をかけずにグラフを書くには「いかに早く2点を見つけること」が必要です。

一次関数のグラフの書き方：2点をすばやく見つけるためのコツ

例えば、\(y=2x+3\)のグラフ

変化の割合（傾き）が2で切片が3です。この傾きと切片の2つを押さえます。

そして、切片がスタート地点になります。この場合は３が1つ目の点（スタートの点）になります。

2点目の見つけ方

そして、変化の割合に注目します。

変化の割合とは、

でしたね。

ですから、変化の割合が２ということは、

この分母と分子に同じ数をかけていくと

になります。

これを図で表すとこんなイメージなります。

\(x\)の増加量は横の動き、\(y\)の増加量は縦の動きになります。

上のような変化の割合の三角形のイメージを頭に作って下さい。

まず、分母の数を横にとって、

次に、分子の数を縦に取ります。プラスの数なら上むき、マイナスなら下向きです。

例えば、変化の割合（傾き）が　3ならば、\(3=\frac{3}{1}\)のように 分数で考えて、変化の割合の三角形を作って2点目を決めます。

ただ、なるべく遠くに点を取って定規で線を引いた方がズレないので、2倍、3倍して\(\frac{6}{2}\)、\(\frac{9}{3}\)のように変化の割合の三角形を大きくして、2点目をはじめの点からなるべく離して取ると上手く書けます。

変化の割合（傾き）が分数の場合も同じです。

例えば、変化の割合（傾き）が\(\frac{2}{3}\)の場合、

右横に３行って上に２行ったところに2点目をクルクルっと取りましょう。

変化の割合（傾き）が負の数（マイナスの数）の場合

次に、変化の割合（傾き）が\(-\frac{2}{3}\)の場合です。

負の数の場合は、\(x\)の増加量は＋で\(y\)の増加量は−で考えます。

この場合は\(x\)の増加量は＋３、\(y\)の増加量は−２と考えます。

−の場合は下に矢印を書きます。

こんな感じです。

演習：\(y=\frac{3}{4}+2\)のグラフを書け

\(y\)軸上に切片の2を取ってグルグルっと丸く点をつけます

次に、変化の割合（傾き）の三角形を作ります。この場合は右横に４行って、上に３を取ります。

この2つの点を定規で結びます。

完成！！お疲れさま＾＾

一次関数のグラフの書き方：まとめ

1. 1点目は切片になる
2. 変化の割合（傾き）の三角形を作って2点目を見つける
3. 定規で直線に結ぶ

細かいポイント

• 直線はグラフ用紙の端から端まできちんと書きましょう
• グラフの横に問題番号やグラフの式を書きましょう
• 2点を取るときはなるべく離れている2点を結んだ方が綺麗な直線が書けます

勉強なんて慣れだから、1回でうまくいかなくても何回か練習すれば必ずうまく書けるようになりますよ！

頑張ってね＾＾

はじめに

「一次関数ってマジで意味わかんない！」

昨年、新入会の生徒から言われた言葉。

彼女は二学期の中間テストでやらかしてしまっての入塾でした。

数学はもともと嫌いで苦手な教科。特に一次関数に入ってからますます分からなくなったそうです。

そして、中間テストで今まで取ったことのない最低得点を取ってしまいました。

でも、その女子生徒は1年経った今「二次関数の応用問題」を解いてます。数学の成績も徐々に上がってます。

なぜその生徒は「一次関数ってマジで意味わかんない！」から「二次関数の応用問題」を解けるように変化したのでしょうか？

その理由を今回お話します。

この記事を読むといい人

• 一次関数で困っている人
• 一次関数ができるようになりたい人
• 問題を解く際に時間がかかるのでもっと速く問題を解けるようになりたい人
• 学校のテストをなんとかしたい人
• 数学を学ぶ際にとても重要な「抽象化」と「具体化」を学びたい人

これに当てはまる人は読んでみてください。

※そもそも「関数」ってなんなのかさっぱり分からない場合はこちらの記事↓を読んでから、この記事を読むと理解がさらに深まります。

これで一次関数は怖くない！中学生のための関数超入門ガイド

なぜ一次関数が苦手な人が多いのか？

私が思うに理由は2つあります。保護者説明会で話していた内容です。

1. 一次関数から「抽象化」など数学的な要素が増えるから
2. 反抗期に入りやすい中学2年生の夏頃に授業が行われるから

一次関数から数学を学ぶにあたり大切な「抽象化」の考えが必要になってくるので、今までよりも集中して取り組まないといけないのに、ちょうど反抗期に入りやすい時期に学習するので苦手な人が多くなると言うことです。

中学2年生の夏の頃って大人のことうざくなってくるし、高校受験まではまだ先だし。部活も3年生が引退するとメインになってきて練習もハードになるし。

勉強したく無くなることがどんどん増えてきます。

もちろん将来見据えてしっかり勉強できる人はいます。精神年齢が高い人や将来の夢があってそのために頑張っている人です。

ですが、13歳-14歳の頃にすでに夢があって目標に向かって突き進んでいる人ってまだまだ少ないです。

目標が無いのに勉強なんてできないですよね。それだったらYouTubeで動画を見たりゲームやったりしていたいし。

だから勉強する気にならない、やっても集中してないことが多くなるんですよね。実際、私も中学2年生の頃は勉強やってなかったもの。

しかも内容は難しくなるから、なおさらやる気なくなるし。

そんなわけで、一次関数が苦手な人が多いのです。

一次関数ができるようになるための3つのコツ

ではどうすればいいのか？って話に入ります。

実は一次関数ができるようになるにはコツがあるんですよ。そのコツを意識して勉強するのかしないのかで結果が変わるんです。

一次関数ができるようになるための時間も短くなるし、この後の数学の勉強の仕方も変わるので数学が得意になる可能性すら出てくるんですね。

そのコツには3つあります。

一次関数ができるようになるための3つのコツ

1. 抽象化を意識する
2. 増加量（変化量）と値（座標）の違いを頭に叩き込む
3. 基本的なパターン（バッテン代入など）を習得する

この３つです。

えっ！？「いきなり難しそう」

大丈夫です。ゆっくり分かりやすく説明しますね。

1.抽象化を意識する

抽象化ってWIKIで調べると「思考における手法のひとつで、対象から注目すべき要素を重点的に抜き出して他は捨て去る方法である」と書いてあります。

分かりやすく言うと、具体的な小さなことがらからもっと大きな概念に置き換えることです。

えっ！？何言ってるのか分からない。確かにこんな説明では分からないですよね、具体的に説明します。

抽象化の具体例1

まずはこの動画に出てくる短足マンチカンのプリンちゃん可愛いですよね。とっても可愛いので、最近よく見て癒されています笑。

この短足マンチカンのプリンちゃんを「抽象化」していきます。

まず、この「短足マンチカンのプリン」ちゃんは世界で唯一１匹ですよね。

少し抽象度を上げると、「茶トラの短足マンチカン」になります。

さらに上げると「茶トラの猫」になり、

どんどん抽象化していくと「猫」→「ほ乳類」→「脊椎動物」→「動物」→「生き物」

もうプリンちゃんはだけではなくなりました。探すのも大変そうです。

このように大きな概念に置き換えることを抽象化といいます。

抽象化の具体例2

数学の場合の抽象化はどうすればいいでしょうか？

数学では、具体的なことがらから表やグラフなどを作成していきます。

そして表やグラフから規則などを見つけていきます。そこからさらに公式を導いたりしていくことを抽象化というんですね。

具体的に説明します。

・例えば、いま水槽に３リットルの水が入っていて、そこに毎分２リットルずつ水を入れていくとします。この具体例を抽象化してみましょう。

左の図にあるように、すでに３リットル水は入っています。

ここに、毎分２リットルずつ水を入れていくわけです。

そうすると、1分後には５リットル、2分後には７リットルと水槽に水がたまっていきますよね。

その様子を表やグラフ化していきます。

次はグラフ化します。

たて軸に水の量、よこ軸は時間です。

はじめは３リットルで、そこに1分あたり２リットルずつ入りますから左のような右上がりの直線のグラフになります。

右上がりは「増えている」ことを表しています。

直線なのは決まった時間に入る水の量が一定（同じ）ということを表しています。

もちろん、問題の意味からではなく、表からグラフを作ってもOKです。

はじめは、水と水槽の話でした。ところが変化していく量を表やグラフにしていくと、そこにはすでに水も水槽も関係なくなります。ただの数字と線が書いてあるだけです。

この方が余計なこと考えないので、規則を見つけるには分かりやすいんですね。

このように、問題から表やグラフにすることが「抽象化」の第一歩です。

上の例の場合、時間と水槽にたまる水の量は　y=2x+3　 という一次関数の関係が導かれるわけです。

1-2:一次関数の抽象化でもっとも大切なこと（最重要事項）

「抽象化はなんとなくわかったけど、それを一次関数の問題を解くときにどうやって取り入れていけばいいのかがよく分からない……」

ではどうすればいいのか？

次の図を暗記してください！！！

 

一次関数の鉄則の使い方

一次関数の問題を解くときに、つまづくポイントとして問題の種類がたくさんあるので覚えきれないというのがあります。頭の中で「この問題どうやって解くんだっけ？」とゴチャゴチャしちゃうんですね。

表の空欄をうめたり、増加量を求めたり、変化の割合を求めたり、式を求めたり、グラフをかいたり、点が動いたり、図形と絡んで出題されたり……、

これ1つ1つのパターンを覚えようするには、まず1つ1つのパターンの理解と演習が必要なります。

大変ですよね。

そこで、上の鉄則をもう一度見てください。

実はこの鉄則を覚えるだけでほとんどの問題が解けてしまうですよ！

要は色々な種類の問題があるけれど、一次関数の問題の解き方って結局この鉄則なんだよってこと。

どんな問題があっても、結局のところまずは一次関数の一般式を求めることができればほぼ解決なわけですね。

ですから、それぞれの問題に対して鉄則の使い方がわかっていれば正直なところ鉄則を覚えていればほとんどの問題が解けてしまうということなんですよね。数学が得意な子供な無意識にそれが分かるので、サクサク解けてしまうんですよ。

ですから、一次関数が苦手ならまず鉄則を覚えてください。それから練習することであなたの一次関数を解く力は間違いなくアップするでしょう。

2.増加量（変化量）と値（座標）の違いを頭に叩き込む

私は一次関数を教えていて気をつけてることがあります。それは、増加量と値の違いをきっちりと教え込むことです。何度も確認します。それはしつこいくらい笑

なぜかというと、その違いがあいまいでできなくなるケースをたくさん見てきたからです。数学が得意な生徒や先生は頭がいいのでそんなこと当たり前じゃんって思っているようです。でもそこをしっかり教えない教師のクラスは一次関数が崩壊してるケースがよくあります。

次の表を見て増加量と値の違いを確認しましょう。

表の中にある黒い数字が値で、２つの数字の差にあたる赤い数字が増加量を表しています。

値は表や座標などで実際に書いてあるので確認しやすいですが、増加量は２数の引いた差なので目に見えないんですね。この2つを意識しながら問題を解くだけで正答率は高くなります。

基本的なパターン（バッテン代入など）を習得する

一次関数の式を求めるときに使う方法でバッテン代入と呼ばれている方法があります。

こんなのです。

こういういくつかよく使う方法はしっかり練習しましょう。一次関数は基本的に代入ができれば解けますから。

まとめ

一次関数について、「できるようになる3つのコツ」と題して書いてきました。少しレベルが高いと思った人もいるかもしれませんが、騙されたと思って、

1. 抽象化を意識する
2. 増加量（変化量）と値（座標）の違いを頭に叩き込む
3. 基本的なパターン（バッテン代入など）を習得する

を意識しながら解いて見て下さい。必ず結果は変わりますから。

一次関数のそれぞれの解き方については、パターン別にどんどん書いていきますのでお楽しみに。

さて、まずは学校の宿題やワークをやってみましょう。もちろん鉄則を意識して下さいね。

今回は、たすき掛けの因数分解が苦手な人、時間がかかるのでもっと速く解きたい人に向けた内容です。

• 普通の因数分解ならなんとか解けるけど、たすき掛けは数字の組み合わせがいっぱいあって何回も試さなきゃいけないから大変だし正直面倒くさい…
• でもできるにならないテストで赤点取っちゃったらかっこ悪いし、
• 赤点取ったら再試があるし、休みに補習出なくちゃいけなくなるのはもっとやだ！
• お姉ちゃんからたすき掛けできないとこの先の二次方程式とか数学人生詰むぞ！って脅かされてる。
• 明日のミニテストのためにたすき掛けのスピードをアップさせたい！

どれか一つでも思い当たったら読んでみてくださいね。

では、いってみましょう♫

たすき掛けの因数分解とは

たすき掛けの因数分解とは、因数分解を解く手法の1つです。中高一貫校であれば中学校で扱う場合がありますが、本来は高校1年で学ぶ「数Ⅰ」で学ぶ手法です。

\(x^2\)の係数(前についてる数字)が2以上の場合に使うことが多いです。

こんなの見たことありませんか？

青い線と赤い線のところがたすきにかけてありますよね。

だからたすき掛けって言います。

具体的な数字だとこんな感じ。

なぜ、たすき掛けの因数分解は面倒くさいのか？

たすき掛けの因数分解が面倒くさいのは「数字の組み合わせ」がたくさんあるからです。1回や2回でドンピシャ決まると気持ちいいですが、そうでないとイライラしますよね。

例えば上の問題の場合符号との組み合わせを考えると8通り考えられます。

この問題は定数項が2なのでまだ組み合わせは少ない方なんですよね……。

数字の感覚があるとスラスラできるのですが、数学に苦手意識があったりすると思うように解けなくて挫折するわけです。

でも、この組み合わせの数を減らすことができれば、楽チンだと思いませんか？

そんな技も含めて「たすき掛けを簡単に解く3つのコツ」を紹介します！

たすき掛けの因数分解を簡単に解く3つのコツ！

では、たすき掛けの因数分解を簡単に解く3つを紹介します。

1. 互いに素を意識する
2. 符号の組み合わせを意識する
3. 2つ目の文字は解答用紙に先に書いておく

です。

ではそれぞれ詳しく説明しますね。

1.互いに素を意識する

いきなり「互いに素」なんて難しい数学用語出すんじゃないよって思ったかもしれませんが、実はそんなに難しくなくて（むしろ簡単）約数が1だけってことです。

具体例で見ていきます。

今回は因数分解なので2つの数とします。

例えば、6と5。この2数は1でしか割れませんよね？こういうのを「互いに素」って言うんです。

6と2では、2で割り切れるので互いに素ではありません。

因数分解の大鉄則は「共通因数でくくる」でしたね。

だから括弧（）の中の数の約数は1意外あり得ないのです。なぜならそれ以外の約数がある場合はすでに共通因数として（）の外にくくり出されているからです。

ですから次の下段にある６と＋２や２と−２の組み合わせは、答えとしてあり得ないんですね。

だからはじめから考えなくていいんですよ。そうすると考えるパターンが８種類から４種類にまで半分で済むんですね。少し楽になって来ましたね。

2.符号の組み合わせを意識する

2つ目のコツは「符号の組み合わせを意識する」です。

例えば上の問題\(6x^2-x-2\)、1番右の定数項（数字だけの項）の符号が「ー」です。

ということはかける２数のうち1つの符号は「ー」が確定します。しかも真ん中の項の符号は「ー」です。

そうするとたすき掛けしてできた2つの数字のうち絶対値（数字）が大きい方が「ー」になるわけです。なぜなら足してマイナスの数になるには絶対値が大きい方がマイナスの数出なければマイナスの数にならないからです。

この問題は「符号の組み合わせ」だけを考えた場合にも８種類から４種類に減ります。

しかも「互いに素」も組み合わせれば、この問題の場合組み合わせは次の2通りだけになります。

こっちが正解

こっちは不正解

８種類あるのが「互いに素」と「符号に意識」するだけで２種類だけ考えればOKなんですよ。

これならかなり楽ちんになりますよね！

2つ目の文字は解答用紙に先に書いておく

たすき掛けの因数分解を簡単に解く3つのコツの最後はミスを減らすチート技です。

上の問題のように\(6x^2-x-2\)文字が\(x\)だけと１種類だと問題なのですが、これが\(6x^2-xy-2y^2\)のように 文字が２種類出てくるときにやってしまいがちなミスを減らす技です。

たすき掛けって数字だけを取り出して考えるので、例えば\(6x^2-xy-2y^2\)の場合、解答欄についうっかり\(=(2x+1)(3x-2)\)と書いてしまうんですよ。\(y\)を書き忘れちゃうんです。

本来なら\(=(2x+y)(3x-2y)\)と書かなければなりません。

でもついやっちゃうんですよね、解けた！って気持ちがほっと気が抜けるんでしょうね。

あなたもやったことありませんか？（私は学生時代に何回もやったことがあります）

このミスを減らすには、次のように解答欄に先に文字を書いておくんですよ。

( \(\ x\) –\(\ \ y\))( \(\ x\) –\(\ \ y\))

文字の前に少しスペースを開けておくのがコツです。符号の「ー」は先に書いておきましょう。「＋」だったらチョンと書き足せばいいだけですから。

これだけでミスは減るしスピードもアップするし、軽快に溶けるようになりますよ。

まとめ

たすき掛けの因数分解を簡単に解く3つのコツ！をまとめると、

1. 互いに素を意識する
2. 符号の組み合わせを意識する
3. 2つ目の文字は解答用紙に先に書いておく

です。

勉強なんて慣れですから、繰り返しやっていればそれなりには解けるようになりますから。

ぜひコツを試して、たすきがけの因数分解を少しでも早くミス無く解けるようになってくださいね。