昨日の授業でとキレ気味で質問されました笑

一次関数は苦手意識を持つ生徒が多い分野です。ただでさえ苦手なのに、さらに点が動くとか意味が分からないし、どうやって解けばいいのか？

その「動点問題」の解き方を基本から分かりやすく解説していきます。

中2数学の一次関数の問題である意味ラスボス的な存在である「動点問題」。そんなラスボス対決のための手順を2つのパターンに分けて説明します。

一次関数の動点問題で出題される2つのパターン

下の問題を見てください。図は同じです。ただし違うところがあります。どこが違うでしょうか？

違う点がわかりましたか？

そうです。上の問題は \(x \)が長さだったのに対して、下の問題の \(x \)は時間(秒)になっています。

当然この違いは解き方の違いになるので、まずはここをしっかり確認しましょう。

一次関数の動点問題：\(x \)が長さの場合の解き方

まずは、\(x \)が長さの場合の解き方の説明から。

関数の利用の問題を解くときに重要なのは、\(x \)と\(y \)がそれぞれ何を表しているのかを把握することです。これがきちんとわかってないと問題は解けません。この問題の場合は\(x \)が長さで\(y \)は\(\triangle \textrm{APD}\)の面積です。

なので、三角形の面積の公式を思い出しましょう。

三角形の面積＝底辺×高さ÷２　でしたね。

ということは、底辺と高さが分かればこの問題は解けることになります。

ここでは辺ADを高さ、辺APを底辺として\(\triangle \textrm{APD}\)の面積を考えてみましょう。

AD＝6、AP=\(x \)になりますね。これを頭に入れて実際に問題を解いていきましょう。

では(1)から解説します。

(1) \(x \)の変域を求めなさい。

(1)は\(x \)の変域の問題です。

\(x \)の変域とは、\(x \)の変わる範囲のことです。一番短いときの値と一番長いときの値を考えて不等号で表します。

\(x \)は点Pが点Aから動いた距離を表します。ですから一番短いのは「点Pがまだ動いていないとき」＝「点Pが点Aと重なっているとき」ですね。ですから 0 cm になります。

点Pは点Bまで動くので、一番長いときは点Pが点Bにいるときなので、8 cm になります。

よって、答えは　　0 \(\leqq \) \(x \) \(\leqq \) 8 　になります。

＊中には面積が0なら三角形にならないので、0は含まないので、

(2) \(y \)の変域を求めなさい。

(2)は \(y \)の変域の問題ですね。

\(y \)は\(\triangle \textrm{APD}\)の面積でしたね。なので、\(\triangle \textrm{APD}\)の面積が一番小さいときの値と、一番大きいときの値を求めて不等号で表せばいいわけです。

AD＝6、AB＝\(x \)で、変化するのは\(x \)なので\(x \)の値によって面積が変化します。

\(\triangle \textrm{APD}\)の面積が一番小さいときって点Pがどこにあるときでしょうか？

それは点Pが点Aにあるときです。そのときの\(x \)の値は(1)より0でした。底辺が0なので面積は0になります。

次に面積が一番大きい時って点Pがどこにあるときでしょうか？

点Bにあるときが底辺が一番長くなるので面積が最大になります。

そのときの\(x \)の値は辺ABの長さと同じになるのでAB＝8になります。

よって、三角形の面積を求める公式に値を代入して計算すると、

\(\triangle \textrm{APD}\)＝8×6÷2＝24

になります。最小値が0で、最大値が24になるので、答えは

0 \(\leqq \) \(y \) \(\leqq \) 24

＊先生の中には面積が0のときは三角形にならないので0を含まないと指導される方もいます。

その場合の答えは、0 ＜\(y \) \(\leqq \) 24　　になります。担当する先生の指導に合わせてください。

(3) \(y\)を\(x\)の式で表しなさい。

「\(y\)を\(x\)の式で表しなさい」とは「\(y=\)」の形の式で表すことです。

この問題で\(y\)は\(\triangle \textrm{APD}\)のことでしたね。ですから三角形の面積の公式の通り\(x\)を使って面積を表せばいいわけです。

三角形の面積＝底辺×高さ÷２　

\(\triangle \textrm{APD}\)＝\(x\)×6÷2　　　を計算して

\(y=3x\)

これが答えです。

一次関数の動点問題：\(x \)が時間の場合の解き方

今度は\(x \)が時間の場合の解き方です。

コツ：時間\(x \)と速さ(毎秒2cm)から底辺を\(x \)を使って表す。

この問題の場合は\(x \)が時間なので、ここからAPの長さを計算する必要が出てきます。なのでこっちの問題の方が若干レベルが上なわけです。

では時間から長さを求めるにはどうすれば良いのか？

ヒントは点Pの速さが毎秒2cmです。

速さと時間が分かれば距離は計算できましたね。

距離＝速さ×時間

でした。ですからAPの長さは2×\(x \)になるので、\(2x \)と表せます。

この考えが難しいと思う人は次にように考えてもいいですよ。

毎秒2cmとは、1秒間に2cm動くということです。2秒なら4cm、3秒なら6cm、4秒なら8cmですね。

1秒　→　2cm

2秒　→　4cm

3秒　→　6cm

4秒　→　8cm

問題文には\(x \)秒後の\(\triangle \textrm{APD}\)を\(y \)とする。と書いてあるので\(x \)を使ってAPの長さを表します。

上の流れから時間の2倍が長さだとわかります。よってAPの長さは2×\(x \)になります。

では、問題を一緒に解いていきましょう。

(1) \(x \)の変域を求めなさい。

今回の問題の場合、\(x \)は時間でした。そして点Pは点Aから点Bまで動きます。

何秒かかるでしょうか？

毎秒2cmで動くので8cm動くのには4秒かかりますよね？よって最大の値は4ということです。

よって、

0 \(\leqq \) \(y \) \(\leqq \) 4

が答えです。

(2) \(y \)の変域を求めなさい。

この問題の考え方は上の(2)の問題と同じです。\(\triangle \textrm{APD}\)の面積の最小値と最大値を求めればいいので、

0 \(\leqq \) \(y \) \(\leqq \) 24

が答えです。

(3) \(y\)を\(x\)の式で表しなさい。

\(y\)は\(\triangle \textrm{APD}\)のことなので、三角形の面積の公式の通り\(x\)を使って面積を表せばいいわけです。

\(x\)は時間、秒速は2cmという条件を使って底辺を表します。上のコツで説明した通りAP＝2\(x \)と表せるので、公式に当てはめて

公式：三角形の面積＝底辺×高さ÷２　

\(\triangle \textrm{APD}\)＝\(2x\)×6÷2　　　を計算して

\(y=6x\)

が答えです。

テストによく出題される例

はじめの２問は点Pが点Aから点Bまでしか動きませんでした。この問題はさらに点Cを通り点Dまで動きます。

このように角で曲がる問題は、点PがA→B、B→C、C→Dのそれぞれの区間で三角形の変化の仕方が変わるので場合分けして考えていきます。今どの区間にあるのかを把握してその区間だけに集中して問題を考えましょう。

(1)点PがAからBまで動くときについて下記の問いに答えなさい。

ここは１つ上の問題と同じなので省略します。

(2)点PがBからCまで動くときについて下記の問いに答えなさい。

(ア)　\(x \)の変域を求めなさい。

(ア)は\(x\)の変域の問題です。変域の問題は最小値と最大値を求めれば良かったですね。

最小値はもちろんBにいるときですから、\(x\)は4になりますね(8÷2＝4)。（\(x\)は時間ですから距離÷速さで求めます）

最大値はCにいるときですから、6÷2＝3でさらに3秒かかるので4+3=7になりますね。もちろんAからBを通ってCまでの長さ14(8+6)を求めてから14÷2=7と計算してもOKです。よって、

4 \(\leqq \) \(y \) \(\leqq \) 7

が答えです。

(イ)\(y\)を\(x\)の式で表しなさい。

点PがBからCに移動しているとき、Pから辺ADにおろした垂線はずっと8cmになります。

よってこの区間はADを底辺、Pからおろした垂線を高さと見ると、底辺は6cm、高さは8cmの固定になるので、

\(\triangle \textrm{APD}\)の面積は、6×8÷2＝24になります。

よって答えは、

\(y=24\)

になります。右辺の24に\(x\)はつかないので気をつけましょう。

(3)点PがCからDまで動くときについて下記の問いに答えなさい。

(ア)　\(x \)の変域を求めなさい。

点PがCにいるとき、点Aから点Bを通って点Cまで8cm＋6cm=14cm移動しています。

かかる時間は、14÷2=7秒

点Dまでさらに8cmなので、8÷2=4。よって、7+4=11秒かかります。

したがって、\(x \)の変域は

7 \(\leqq \) \(y \) \(\leqq \) 11

になります。

(イ)\(y\)を\(x\)の式で表しなさい。

さあラスボスです。これが出来たら動点問題に自信を持っていいいですよ。

\(\triangle \textrm{APD}\)の底辺をAD、高さをPDと見ます。AD=6なので、あとはPDの長さを\(x\)を使って表すことができれば、公式に代入して式を立てることができます。

ではPDを\(x\)を使って表すとどうなりますか？よくあるのが8-\(2x\)です。CDの長さが8cmなので一見合っているように思えますが、違います。

なぜかというと、8-\(x\)という式では\(x\)はCPの長さを表します。ところが点Pってどこから出発したのでしょうか？

問題文に「点Pが点Aを出発して」と書いてあります。そうなるとAB＋BC＋CP=\(x\)ということになります。

なので、点Aから考えなくてはなりません。下の図がそのイメージです。

イメージできましたか？

上の図を見れば、PDの長さはAD-APで求められることが理解できると思います。

よって、PD＝AD-AP＝22-2\(x\) になります。

あとはこれを使って\(\triangle \textrm{APD}\)の面積の面積を表しましょう。

\(\triangle \textrm{APD}\)の面積＝底辺×高さ÷２＝AD×PD÷2＝6×(22-2\(x\))÷2

これを計算して、\(\triangle \textrm{APD}\)=-6\(x\)+66　になるので答えは

\(y\)=-6\(x\)+66

になります。

別解：\(y\)を\(x\)の式で表す問題をもっと簡単に解く方法

今までは図形的な発想でこの問題を解いてきました。でも中には図形が苦手な人もいるはず。

そこで、もっと計算でスラスラと解く方法を説明します。

それは対応表を作って計算して解く方法です。これなら一次関数の2点から直線の式を求める方法で解けます。

点PがA、B、C、Dにあるときの\(x\)と\(y\)を計算して下のような対応表を作ります。この問題の場合\(x\)は距離(\(cm\))ではなく、時間(秒)なので気をつけてくださいね。（＊時間＝距離÷速さで求めましょう。例えば、点Aの\(x\)を求める場合、AB間の距離＝8cm、速さは秒速 2cmなので、8÷2＝4になります）

この表を参考に、連立方程式や一次関数の変化の割合の求め方から式を求めていけばいいのです。

上の表を座標に置き換えれば、A( 0 , 0 )、B( 4 , 24 )、C( 7 , 24 )、D( 11 , 0 )になるので、座標の方が計算しやすい人はこのように変換して解いてください。

人それぞれ求めやすさの違いがあるので、自分が求めやすいやり方で練習してください。

まとめ：一次関数の動点問題の解き方　

・\(x\)や\(y\)が何を表しているのかを把握する。

・点Pがどの区間にいるのかをしっかり場合分けをして、その区間に集中して考える。

・図形で考えるのが難しいときは対応表を使って代数的に考える。

どうでしたか？解き方を理解したら、実際に手を動かして練習しましょう。問題を繰り返し解くことで、一次関数の中でラスボス的な存在である動点問題を楽々と解くことができるようになるでしょう。

分かった（理解できた）と出来るは同じではありません。まずは「理解する」こと、そして問題を解くことを繰り返して「出来る」ようになりましょう。

「関数って何だか難しそう…」「グラフとか記号がいっぱいで、もうイヤ！」

そんな風に思っている中学生の皆さん、こんにちは！

実は、関数は決して怖いものではありません。このガイドを読めば、関数の基本的な考え方から、グラフの読み解き方まで、スッキリと理解できるようになりますよ！

「これで関数は怖くない！」を合言葉に、一緒に一歩ずつ関数ワールドを探検してみましょう！

1-1. まずはイメージ！ブラックボックスで関数を体験

関数が苦手になる理由はいくつかありますが、一番大きいのは抽象の概念がもろに入ってくることです。

具体的な水槽の話から、数値の関係性を抽象化して表やグラフ、そして式を求めることから始まります。

その後にいきなり抽象化された数字だけの世界に放り込まれるので、抽象と具体の行ききを理解できないと「ここはどこ？」「私は誰？」状態になってしまい、関数ってわけわからん！？となるのです。

そこで、関数を理解するために関数とはこんなイメージなんだよってことを体験しましょう。

関数を理解するためによく使われる例えがブラックボックスです。

ここにブラックボックスがあります。

このブラックボックスの左側から入力して右側から出力します。

左側から色を入力して、ブラックボックスを通してある法則で右側から出力しました。このブラックボックスにはどんな法則があるか分かりますか？

そうです、「白を混ぜる」という法則ですね。

このように入力したものを「ある法則」に従って出力するものが関数なのです。

次はどんな法則で出力しているか分かりますか？

今度は入力した数を「4倍する法則」ですね。

関数では一般的に入力を \(x\) 、出力を \(y\) を使って表します。

上の図の関数を式で表すと、入力（\(x\)）した数値を4倍した数が出力（\(y\)）になるので、\(y=4x\) になるわけです。

ここで、\(x\) のことを独立変数、\(y\) のことを従属変数と言います。中学数学で変数という用語はさらっと紹介されます。簡単にいうと未知数のことです。

\(x\) のことを独立変数と呼ぶのは、\(x\) にはその関数の法則を抜きに(独立して)、どんな数字も当てはめることができるからです。

それに対して\(y\) のことを従属変数と呼ぶのは、その関数の法則に従って数が決まるからです。従属とは従ってという意味ですね。

詳しくは高校数学で学びます。

1-2. 大事なキーワード！「増加量」と「値」の違いをつかめ！

関数が苦手な人の特徴の1つに「増加量」と「値」の違いがよく分からず、ごっちゃになってしまっていることがあります。

「増加量」と「値」の違いをしっかり理解して使い分けることができると、途端に関数が得意になります。

増加量とは、その名の通り「増えている量」ですよね。

例えば、あなたは今3,000円持っているとします。お小遣いをもらって8,000円になりました。

この場合の増加量はいくらになりますか？

そうです、「5,000円」になりますよね。

この「5,000円」を計算で出すには8000-3000=5000と引き算で出します。

引き算の答えのことを「差」と言いますよね。

ですから増加量のことは「差」で求めるわけです。

それに対して「値」というのは\(x=3\)とか\(y=-2\)のように表せれます。

例えば、「\(x=3\)のとき\(y=-2\)で、\(x=7\)のとき\(y=10\)」の場合、

\(x\)は\(x=3\)から\(x=7\)になっているので、\(x\)の増加量は7-3=4になります。

\(y\)は\(y=-2\)から\(y=10\)になってます。ですから10-(-2)=10+(+2)=12になるわけです。

このように「増加量」と「値」というのは両方とも数字なのですが、意味が違います。

この違いをしっかり理解してそれぞれを求められるようになれば一次関数はすぐに得意になれますよ。

なぜかというと、一次関数で一番重要なのは「変化の割合」であり、「変化の割合」とはまさに\(x\)が1増加するときの\(y\)の増加量のことだからです。

「変化の割合」を求める公式は↓です。

\(y\)の増加量を\(x\)の増加量で割れば求めることができます。

ですから、増加量とは差のことである。引き算をして求めるんだ！と意識して覚えてくださいね。

その上で練習問題を解いていけば、関数の問題はすらすら解けるようになりますから。

2. 関数を式で表してみよう！【中２数学の基本】

2-1. \(y = ax\) ってどんな意味？比例の関係

まずは中学1年生で習った「比例」について復習しましょう。

比例とは「\(x\) が2倍、3倍…、になる\(y\) も2倍、3倍…になる関係」のことでしたね。

比例の一般式は、\(y=ax\) でした。この\(a\)のことを比例定数といいました。

比例とは\(x\)に入力された数にこの比例定数を掛け算した「法則」のことです。

ですから、比例定数\(a\)を求めることができたら、比例の謎は解けたようなものなのです。

求め方は、公式\(a=\frac{y}{x}\)で求めてもいいですし、一般式\(y=ax\) の\(x\)と\(y\)に問題文で分かっている値を代入して求めてもOKです。

実はこの \(y=ax\) という比例も一次関数の仲間なんです。

\(y=ax\) は\(y=ax+b\)の\(b\) が\(0\) の場合を表しているんですね。

\(y\)切片が \(0\) だから原点を通るわけです。

2-2. \(y = \frac{a}{x}\) 反比例も簡単理解!

中学１年生のときに比例と一緒に習った反比例についても少し見ていきましょう。

反比例の一般式は、

\[y = \frac{a}{x}\]

でしたね。

\(x\) が2倍、3倍となると、 それに従って\(y\)は \(\frac{1}{2}\)倍、\(\frac{1}{3}\)になる関係のことを反比例と言いました。

反比例でもこの\(a\)のことを比例定数といいます。（※反比例定数とは言いません）

小学校のではこの\(a\)のことを「決まった数」と教えています。

ですから、反比例とはこの決まった数を\(x\)に入力した数で割り算する「法則」で出力\(y\)が決まります。

反比例は一次関数の仲間ではありません。

一次関数は \(y=ax+b\)という一次式で表される関数です。反比例は \(y = \frac{a}{x}\) なので、\(x\)が分母にあります。この場合は一次式とは言わないので一次関数ではありません。

また一次関数は変化の割合が一定な関数です。

例えば、\(y=2x+3\)という一次関数があります。この変化を表で表すと、

となります。

この表から\(x\)が\(1\)増加すると、それに従って\(y\)が\(2\)ずつ増加するのが読み取れますね。

このように一次関数は変化の割合が一定です。

今度は反比例を見てみましょう。

\(y = \frac{2}{x}\)という反比例を表で表します。

表のように、\(x\)の増加量が一定ではありませんね。ですから反比例は一次関数ではありません。

2-3. いろんな関数にチャレンジ！一次関数って？

では、中学２年生で習う「一次関数」についてみていきます。

一次関数は \(y=ax+b\)という一次式で表される関数です。

\(a\)のことを変化の割合(傾き)、\(b\)のことを切片（※\(y\)切片）と言います。

ではどんな法則なのか？

それは、\(x\)に入力した数を何倍(かけ算)してから、さらにある数を足し算する「法則」です。

入力した数にかけ算するのは\(a\)変化の割合で、その後に足し算するのは\(b\)の切片です。

例えば、\(y=2x+3\) と言う一次関数の場合、\(x\)に入力した数を \(2\) 倍してから\(+3\)を足す法則のことです。

\(y=-3x-5\)の場合は、 \(x\)に入力した数を \(-3\) 倍してから\(-5\)を足す法則になるわけです。

一次関数の法則は2回の計算があるので、難しい印象を持ってしまうのかもしれません。

ただ、これも慣れの問題なので適切な方法で繰り返し練習すればできるようになります。

そのときに気をつけて欲しいのは上の「1-2. 大事なキーワード！「増加量」と「値」の違いをつかめ！」のところなので繰り返し読んで、問題を解くときに意識してくださいね。

一次関数の解き方のコツはこちらの記事をお読みください。

3 関数のまとめ

関数とは入力と出力の関係のことでした。\(x\)に入力してある法則にしたがって\(y\)を出力する関係のことです。

\(x\)に入力した数を何倍かする「法則」を比例、比例定数（決まった数）を\(x\)に入力した数で割っていく「法則」を反比例と言います。

一次関数は、\(x\)に入力した数を何倍かした後にある数を足し算する「法則」でした。入力した数に\(a\)変化の割合を掛け算してから、切片の数を足し算して出力する関係のことです。

比例や反比例は1回の操作(計算)で終わるのに、一次関数は2回の操作（計算）があるので難しい印象がありますが、慣れれば簡単に求められるようになるので、諦めずにマスターしてくださいね。

今回は数学1の集合について何回かにわけてわかりやすく説明していきます。

ここは新しい用語や記号がたくさん出てくるので混乱しやすい分野です。

だから、まずはひとつひとつの言葉と記号をしっかり理解していきましょう。

イメージしながら理解していくのがお勧めです。

その上で練習問題を解いてください。

そうすればいつの間にか友達に教えられるようになってますよ。

細かい用語の定義はわかっているから、すぐに問題の解き方を学びたい人は目次から「問題演習」をクリックしてください。

では、いってみよう

集合のイメージ

あなたが1年A組の生徒だとします。このクラスの生徒数は36名で、１つの班が6名の６つの班があります。

あなたは２班のメンバーだとします。

1年A組の生徒が集まると「1年A組」という「集合」ができます。

そしてクラスのそれぞれの生徒のことを「要素」といいます。

また、あなたはこのクラスのメンバーです。これを数学的に言い表すと”あなたは1年A組という集合に「属する」”と言います。

ここまでで、「集合」「要素」「属する」という３つの用語が出てきました。それぞれイメージできましたか。

そしてあなたは「2班」でした。この「2班」というのも6名の生徒が集まる「集合」になります。

この「2班」は「1年A組」という「集合」のメンバー(要素)で成り立っています。この場合「2班」という集合は「1年A組」という集合のメンバー(要素)からできています。こういうとき「2班」という集合は「1年A組」という集合の「部分集合」と呼びます。

たくさん用語が出てきました。

あと１つだけ覚えてください、それは「補集合」です。

あなたは「2班」でした。このクラスには当然「2班」以外の生徒もいるわけです。

このような「2班」以外の生徒のことを「2班」の補集合といいます。

どうですか、
何となくイメージは湧きましたか。

ここで用語の意味をまとめましょう。

集合とは何なんだ？：集合・要素・部分集合・補集合とかその他諸々

ここから用語の意味を説明しますね。

・集合

教科書を見ると「含まれるものがはっきり定まるものの集まり」と書いてあります。

だから、「体重が軽い人の集まり」とか「可愛いねこの集まり」とかは各個人によって意見が分かれることがありますよね。はっきり定まらないので数学で言うところの「集合」とは言えないわけです。

数学の問題で出題される「1桁の自然数」とか「100から500までの整数」などは含まれるものがはっきりの定まりますよね。

こんな風に「含まれるものがはっきり定まるものの集まり」のことを集合といいます。

・要素

次は要素です。要素とはその集合をつくっている「1つ1つのもの」のことです。

例えば、ある集合Aがあってその要素が「1桁の自然数」であれば、その要素はA={1,2,3,4,5,6,7,8,9}と表すことができます。

この1とか2とかそれぞれが集合Aの要素です。

要素は括弧の記号{   }の中に「,」カンマで区切って書いていきます。カンマは「左」払います。「、」のように右に払うとバツにされることがあるので気をつけましょう。

また、Aは {n | nは１桁の自然数} と要素の代表であるnを書いてから「|」縦線を書いて「nを満たす条件」を書いて示す方法もあります。（読み方について聞かれる場合があります。私は高校時代の数学の先生から縦線｜は「ただし」と読むんだよと教わりました。ですから{n | nは１桁の自然数} の場合「n、ただしnはひとけたのしぜんすう」と読むわけですね）

特にこの「条件を書く方法」が分からないという質問が多いので、早めに理解しておきましょう。

具体例：条件を書く方法

A={ n | nは 5 以下の自然数}であれば、A={ 1.2.3.4.5 }

A={ 5n | n=1,2,3}であれば、その要素はそれぞれ 5×1=5,5×2=10,5×3=15と計算できるのでA＝{ 5,10,15 }になります。

A={ x｜-2≦ x≦3を満たす整数}であれば、A={-2,-1,0,1,2,3}になるわけです。

・集合の種類

集合には「有限集合」「無限集合」「空集合」の３種類があります。

「有限集合」とは、「1桁の自然数」みたいに要素が有限(数に限りがある)な集合のことです。上の例にある1年A組も人数が36人なので有限集合ですね。

「無限集合」とは、「正の数全体」みたいに要素が無限(数に限りが無い)な集合のことです。

「空集合」とは、要素が1つも無い集合のことです。記号で「∅」と表します。

読み方は私が学生時代には学校で「ファイ」と習ってました。これはギリシア文字の「φ」のことですが、実は違うそうです。

数学の先生から習っていましたし、いくつかの参考書ではいまだにそのように書いてあるものもありますが……。

生徒に聞いたら、学校の教師はそのまま「空集合」と読むケースが多いようです。

・部分集合

上の教室の例でいくと、全体集合は「1年A組」です。

部分集合「班」になります。「1班」「2班」「3班」……、それぞれが「1年A組」の部分集合になります。

これを数学の記号を使って表してみます。

「1年A組」を集合A、「2班」を集合Bとします。

この場合

$$  A  supset B    $$

とか

$$ B subset A $$

となります。

読み方は「AはBを含む」や「BはAに含まれる」です。

・補集合

集合では、まず１つの集合Uを決めてそのUの部分集合について考えることが多いんですね。この場合Uを全体集合といいます。Uの中に部分集合Aがあるとします。その部分集合Aに属さない要素全体の集合を、Uに関するAの補集合といい、

$$ overline{A} $$

と表します。

読み方は「Aバー」や「補集合A」です。

この補集合の考えはとても重要なのでしっかり覚えておきましょう。特に数学Aの場合の数・確率で威力を発揮します！

では、実際に問題を解いてみましょう。

問題演習

・集合を表してみよう

問題1：1から10までの集合Aを表せ。

そのまま要素を書き出す方法では、

$$ A={1, 2,3,4,5,6,7,8,9,10 } $$

条件を書き出す方法では、

$$ A={x | x text{は自然数,1≦ x ≦10}} $$

となります。

問題2：次の集合を要素を書き並べて表せ。

(1) 7以下の自然数全体の集合

(2) 3桁の5の倍数全体の集合

(3) { x | -4 < x < 3, xは整数 }

(4) { x | x は10以下の正の奇数 }

(5) { x | x は6の正の約数 }

(6) { n | n=2k, k=1, 2, 3}

(7) {4n-1 | n=1, 2, 3, 4,…… }

(8) { x | x は | x |<0 を満たす整数 }

問題2：答え

(1) { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 }

(2) { 100, 105, 110,……, 995 }

(3) {-3, -2, -1, 0, 1, 2 }

(4) { 1, 3, 5, 7, 9 }

(5) {1, 2, 3, 6}

(6) {2, 4, 6}

(7) {3, 7, 11, 15,……}

(8) { ∅ }

問題2：解説

(1) 自然数とは「正の整数」のことでしたね。なので、0は入りません。7以下なので7も含みません。もし7未満なら7は含まないので注意してください。

(2) 5の倍数は1の位の数が「0 か 5」になります。ですから100から995までで1の位が「0 か 5」の数です。この場合のように書き出す要素がたくさんある場合の集合の書き方ですが、答えのように3つ書いて途中は「…」でつないで一番最後の数を1つ書きます。

(3) -4から３までの整数を書くのですが、「＜」は下に「＝」がついてないので-4と3は含みません。

(4) 10以下の正の奇数なのでそのまま奇数を書きましょう。

(5) 6の約数とは6を割り切ることができる数です。

(6) n=2kの式のkにk=1, 2, 3と順番に代入して計算した値(答え)を書いていきます。2×1=2, 2×2=4, 2×3=6。

(7) 4n-1のnにn=1, 2, 3, 4,…と順に代入して計算した値を書いていきます。この場合(6)と違って無限集合です。問題文にあるように1から4まで順に代入した値を書いたらその後は…と書きましょう。4×1-1=3, 4×2-1=7, 4×3-1=11, 4×4-1=15, …

(8) ｜｜は絶対値の記号ですね。絶対値は原点からの距離を表すので負の数はありません。よってこの場合は、要素がないので答えは空集合「∅」になります。

最後に

どうでしょうか。ここまで理解できて問題も解けましたか？

勉強って要は「慣れ」なんですよね。特に新しい単元に入ると理解しながら記憶していかなければならないので、難しいと感じてしまう訳です。上の問題が自力で解けるようになったら教科書やワークの練習をやって更に慣れてくださいね。

次回２回目は、2つの集合を比べて「共通部分」や「和集合」について説明していきます。特に「補集合」が絡んだ問題や「ド・モルガンの法則」についてもわかりやすく丁寧に説明していきます。

コツをつかんでしまえば早く書けるようになりますからマスターして下さいませ。

では、行ってみましょう！

一次関数のグラフ書き方の手順

まず一次関数のグラフ書きです。

一次関数のグラフってこんな直線でしたね。

直線を書くには2点が取れれば書けます。

ですから、テストで時間をかけずにグラフを書くには「いかに早く2点を見つけること」が必要です。

一次関数のグラフの書き方：2点をすばやく見つけるためのコツ

例えば、\(y=2x+3\)のグラフ

変化の割合（傾き）が2で切片が3です。この傾きと切片の2つを押さえます。

そして、切片がスタート地点になります。この場合は３が1つ目の点（スタートの点）になります。

2点目の見つけ方

そして、変化の割合に注目します。

変化の割合とは、

でしたね。

ですから、変化の割合が２ということは、

この分母と分子に同じ数をかけていくと

になります。

これを図で表すとこんなイメージなります。

\(x\)の増加量は横の動き、\(y\)の増加量は縦の動きになります。

上のような変化の割合の三角形のイメージを頭に作って下さい。

まず、分母の数を横にとって、

次に、分子の数を縦に取ります。プラスの数なら上むき、マイナスなら下向きです。

例えば、変化の割合（傾き）が　3ならば、\(3=\frac{3}{1}\)のように 分数で考えて、変化の割合の三角形を作って2点目を決めます。

ただ、なるべく遠くに点を取って定規で線を引いた方がズレないので、2倍、3倍して\(\frac{6}{2}\)、\(\frac{9}{3}\)のように変化の割合の三角形を大きくして、2点目をはじめの点からなるべく離して取ると上手く書けます。

変化の割合（傾き）が分数の場合も同じです。

例えば、変化の割合（傾き）が\(\frac{2}{3}\)の場合、

右横に３行って上に２行ったところに2点目をクルクルっと取りましょう。

変化の割合（傾き）が負の数（マイナスの数）の場合

次に、変化の割合（傾き）が\(-\frac{2}{3}\)の場合です。

負の数の場合は、\(x\)の増加量は＋で\(y\)の増加量は−で考えます。

この場合は\(x\)の増加量は＋３、\(y\)の増加量は−２と考えます。

−の場合は下に矢印を書きます。

こんな感じです。

演習：\(y=\frac{3}{4}+2\)のグラフを書け

\(y\)軸上に切片の2を取ってグルグルっと丸く点をつけます

次に、変化の割合（傾き）の三角形を作ります。この場合は右横に４行って、上に３を取ります。

この2つの点を定規で結びます。

完成！！お疲れさま＾＾

一次関数のグラフの書き方：まとめ

1. 1点目は切片になる
2. 変化の割合（傾き）の三角形を作って2点目を見つける
3. 定規で直線に結ぶ

細かいポイント

• 直線はグラフ用紙の端から端まできちんと書きましょう
• グラフの横に問題番号やグラフの式を書きましょう
• 2点を取るときはなるべく離れている2点を結んだ方が綺麗な直線が書けます

勉強なんて慣れだから、1回でうまくいかなくても何回か練習すれば必ずうまく書けるようになりますよ！

頑張ってね＾＾