昨日の授業でとキレ気味で質問されました笑

一次関数は苦手意識を持つ生徒が多い分野です。ただでさえ苦手なのに、さらに点が動くとか意味が分からないし、どうやって解けばいいのか？

その「動点問題」の解き方を基本から分かりやすく解説していきます。

中2数学の一次関数の問題である意味ラスボス的な存在である「動点問題」。そんなラスボス対決のための手順を2つのパターンに分けて説明します。

一次関数の動点問題で出題される2つのパターン

下の問題を見てください。図は同じです。ただし違うところがあります。どこが違うでしょうか？

違う点がわかりましたか？

そうです。上の問題は \(x \)が長さだったのに対して、下の問題の \(x \)は時間(秒)になっています。

当然この違いは解き方の違いになるので、まずはここをしっかり確認しましょう。

一次関数の動点問題：\(x \)が長さの場合の解き方

まずは、\(x \)が長さの場合の解き方の説明から。

関数の利用の問題を解くときに重要なのは、\(x \)と\(y \)がそれぞれ何を表しているのかを把握することです。これがきちんとわかってないと問題は解けません。この問題の場合は\(x \)が長さで\(y \)は\(\triangle \textrm{APD}\)の面積です。

なので、三角形の面積の公式を思い出しましょう。

三角形の面積＝底辺×高さ÷２　でしたね。

ということは、底辺と高さが分かればこの問題は解けることになります。

ここでは辺ADを高さ、辺APを底辺として\(\triangle \textrm{APD}\)の面積を考えてみましょう。

AD＝6、AP=\(x \)になりますね。これを頭に入れて実際に問題を解いていきましょう。

では(1)から解説します。

(1) \(x \)の変域を求めなさい。

(1)は\(x \)の変域の問題です。

\(x \)の変域とは、\(x \)の変わる範囲のことです。一番短いときの値と一番長いときの値を考えて不等号で表します。

\(x \)は点Pが点Aから動いた距離を表します。ですから一番短いのは「点Pがまだ動いていないとき」＝「点Pが点Aと重なっているとき」ですね。ですから 0 cm になります。

点Pは点Bまで動くので、一番長いときは点Pが点Bにいるときなので、8 cm になります。

よって、答えは　　0 \(\leqq \) \(x \) \(\leqq \) 8 　になります。

＊中には面積が0なら三角形にならないので、0は含まないので、

(2) \(y \)の変域を求めなさい。

(2)は \(y \)の変域の問題ですね。

\(y \)は\(\triangle \textrm{APD}\)の面積でしたね。なので、\(\triangle \textrm{APD}\)の面積が一番小さいときの値と、一番大きいときの値を求めて不等号で表せばいいわけです。

AD＝6、AB＝\(x \)で、変化するのは\(x \)なので\(x \)の値によって面積が変化します。

\(\triangle \textrm{APD}\)の面積が一番小さいときって点Pがどこにあるときでしょうか？

それは点Pが点Aにあるときです。そのときの\(x \)の値は(1)より0でした。底辺が0なので面積は0になります。

次に面積が一番大きい時って点Pがどこにあるときでしょうか？

点Bにあるときが底辺が一番長くなるので面積が最大になります。

そのときの\(x \)の値は辺ABの長さと同じになるのでAB＝8になります。

よって、三角形の面積を求める公式に値を代入して計算すると、

\(\triangle \textrm{APD}\)＝8×6÷2＝24

になります。最小値が0で、最大値が24になるので、答えは

0 \(\leqq \) \(y \) \(\leqq \) 24

＊先生の中には面積が0のときは三角形にならないので0を含まないと指導される方もいます。

その場合の答えは、0 ＜\(y \) \(\leqq \) 24　　になります。担当する先生の指導に合わせてください。

(3) \(y\)を\(x\)の式で表しなさい。

「\(y\)を\(x\)の式で表しなさい」とは「\(y=\)」の形の式で表すことです。

この問題で\(y\)は\(\triangle \textrm{APD}\)のことでしたね。ですから三角形の面積の公式の通り\(x\)を使って面積を表せばいいわけです。

三角形の面積＝底辺×高さ÷２　

\(\triangle \textrm{APD}\)＝\(x\)×6÷2　　　を計算して

\(y=3x\)

これが答えです。

一次関数の動点問題：\(x \)が時間の場合の解き方

今度は\(x \)が時間の場合の解き方です。

コツ：時間\(x \)と速さ(毎秒2cm)から底辺を\(x \)を使って表す。

この問題の場合は\(x \)が時間なので、ここからAPの長さを計算する必要が出てきます。なのでこっちの問題の方が若干レベルが上なわけです。

では時間から長さを求めるにはどうすれば良いのか？

ヒントは点Pの速さが毎秒2cmです。

速さと時間が分かれば距離は計算できましたね。

距離＝速さ×時間

でした。ですからAPの長さは2×\(x \)になるので、\(2x \)と表せます。

この考えが難しいと思う人は次にように考えてもいいですよ。

毎秒2cmとは、1秒間に2cm動くということです。2秒なら4cm、3秒なら6cm、4秒なら8cmですね。

1秒　→　2cm

2秒　→　4cm

3秒　→　6cm

4秒　→　8cm

問題文には\(x \)秒後の\(\triangle \textrm{APD}\)を\(y \)とする。と書いてあるので\(x \)を使ってAPの長さを表します。

上の流れから時間の2倍が長さだとわかります。よってAPの長さは2×\(x \)になります。

では、問題を一緒に解いていきましょう。

(1) \(x \)の変域を求めなさい。

今回の問題の場合、\(x \)は時間でした。そして点Pは点Aから点Bまで動きます。

何秒かかるでしょうか？

毎秒2cmで動くので8cm動くのには4秒かかりますよね？よって最大の値は4ということです。

よって、

0 \(\leqq \) \(y \) \(\leqq \) 4

が答えです。

(2) \(y \)の変域を求めなさい。

この問題の考え方は上の(2)の問題と同じです。\(\triangle \textrm{APD}\)の面積の最小値と最大値を求めればいいので、

0 \(\leqq \) \(y \) \(\leqq \) 24

が答えです。

(3) \(y\)を\(x\)の式で表しなさい。

\(y\)は\(\triangle \textrm{APD}\)のことなので、三角形の面積の公式の通り\(x\)を使って面積を表せばいいわけです。

\(x\)は時間、秒速は2cmという条件を使って底辺を表します。上のコツで説明した通りAP＝2\(x \)と表せるので、公式に当てはめて

公式：三角形の面積＝底辺×高さ÷２　

\(\triangle \textrm{APD}\)＝\(2x\)×6÷2　　　を計算して

\(y=6x\)

が答えです。

テストによく出題される例

はじめの２問は点Pが点Aから点Bまでしか動きませんでした。この問題はさらに点Cを通り点Dまで動きます。

このように角で曲がる問題は、点PがA→B、B→C、C→Dのそれぞれの区間で三角形の変化の仕方が変わるので場合分けして考えていきます。今どの区間にあるのかを把握してその区間だけに集中して問題を考えましょう。

(1)点PがAからBまで動くときについて下記の問いに答えなさい。

ここは１つ上の問題と同じなので省略します。

(2)点PがBからCまで動くときについて下記の問いに答えなさい。

(ア)　\(x \)の変域を求めなさい。

(ア)は\(x\)の変域の問題です。変域の問題は最小値と最大値を求めれば良かったですね。

最小値はもちろんBにいるときですから、\(x\)は4になりますね(8÷2＝4)。（\(x\)は時間ですから距離÷速さで求めます）

最大値はCにいるときですから、6÷2＝3でさらに3秒かかるので4+3=7になりますね。もちろんAからBを通ってCまでの長さ14(8+6)を求めてから14÷2=7と計算してもOKです。よって、

4 \(\leqq \) \(y \) \(\leqq \) 7

が答えです。

(イ)\(y\)を\(x\)の式で表しなさい。

点PがBからCに移動しているとき、Pから辺ADにおろした垂線はずっと8cmになります。

よってこの区間はADを底辺、Pからおろした垂線を高さと見ると、底辺は6cm、高さは8cmの固定になるので、

\(\triangle \textrm{APD}\)の面積は、6×8÷2＝24になります。

よって答えは、

\(y=24\)

になります。右辺の24に\(x\)はつかないので気をつけましょう。

(3)点PがCからDまで動くときについて下記の問いに答えなさい。

(ア)　\(x \)の変域を求めなさい。

点PがCにいるとき、点Aから点Bを通って点Cまで8cm＋6cm=14cm移動しています。

かかる時間は、14÷2=7秒

点Dまでさらに8cmなので、8÷2=4。よって、7+4=11秒かかります。

したがって、\(x \)の変域は

7 \(\leqq \) \(y \) \(\leqq \) 11

になります。

(イ)\(y\)を\(x\)の式で表しなさい。

さあラスボスです。これが出来たら動点問題に自信を持っていいいですよ。

\(\triangle \textrm{APD}\)の底辺をAD、高さをPDと見ます。AD=6なので、あとはPDの長さを\(x\)を使って表すことができれば、公式に代入して式を立てることができます。

ではPDを\(x\)を使って表すとどうなりますか？よくあるのが8-\(2x\)です。CDの長さが8cmなので一見合っているように思えますが、違います。

なぜかというと、8-\(x\)という式では\(x\)はCPの長さを表します。ところが点Pってどこから出発したのでしょうか？

問題文に「点Pが点Aを出発して」と書いてあります。そうなるとAB＋BC＋CP=\(x\)ということになります。

なので、点Aから考えなくてはなりません。下の図がそのイメージです。

イメージできましたか？

上の図を見れば、PDの長さはAD-APで求められることが理解できると思います。

よって、PD＝AD-AP＝22-2\(x\) になります。

あとはこれを使って\(\triangle \textrm{APD}\)の面積の面積を表しましょう。

\(\triangle \textrm{APD}\)の面積＝底辺×高さ÷２＝AD×PD÷2＝6×(22-2\(x\))÷2

これを計算して、\(\triangle \textrm{APD}\)=-6\(x\)+66　になるので答えは

\(y\)=-6\(x\)+66

になります。

別解：\(y\)を\(x\)の式で表す問題をもっと簡単に解く方法

今までは図形的な発想でこの問題を解いてきました。でも中には図形が苦手な人もいるはず。

そこで、もっと計算でスラスラと解く方法を説明します。

それは対応表を作って計算して解く方法です。これなら一次関数の2点から直線の式を求める方法で解けます。

点PがA、B、C、Dにあるときの\(x\)と\(y\)を計算して下のような対応表を作ります。この問題の場合\(x\)は距離(\(cm\))ではなく、時間(秒)なので気をつけてくださいね。（＊時間＝距離÷速さで求めましょう。例えば、点Aの\(x\)を求める場合、AB間の距離＝8cm、速さは秒速 2cmなので、8÷2＝4になります）

この表を参考に、連立方程式や一次関数の変化の割合の求め方から式を求めていけばいいのです。

上の表を座標に置き換えれば、A( 0 , 0 )、B( 4 , 24 )、C( 7 , 24 )、D( 11 , 0 )になるので、座標の方が計算しやすい人はこのように変換して解いてください。

人それぞれ求めやすさの違いがあるので、自分が求めやすいやり方で練習してください。

まとめ：一次関数の動点問題の解き方　

・\(x\)や\(y\)が何を表しているのかを把握する。

・点Pがどの区間にいるのかをしっかり場合分けをして、その区間に集中して考える。

・図形で考えるのが難しいときは対応表を使って代数的に考える。

どうでしたか？解き方を理解したら、実際に手を動かして練習しましょう。問題を繰り返し解くことで、一次関数の中でラスボス的な存在である動点問題を楽々と解くことができるようになるでしょう。

分かった（理解できた）と出来るは同じではありません。まずは「理解する」こと、そして問題を解くことを繰り返して「出来る」ようになりましょう。

「関数って何だか難しそう…」「グラフとか記号がいっぱいで、もうイヤ！」

そんな風に思っている中学生の皆さん、こんにちは！

実は、関数は決して怖いものではありません。このガイドを読めば、関数の基本的な考え方から、グラフの読み解き方まで、スッキリと理解できるようになりますよ！

「これで関数は怖くない！」を合言葉に、一緒に一歩ずつ関数ワールドを探検してみましょう！

1-1. まずはイメージ！ブラックボックスで関数を体験

関数が苦手になる理由はいくつかありますが、一番大きいのは抽象の概念がもろに入ってくることです。

具体的な水槽の話から、数値の関係性を抽象化して表やグラフ、そして式を求めることから始まります。

その後にいきなり抽象化された数字だけの世界に放り込まれるので、抽象と具体の行ききを理解できないと「ここはどこ？」「私は誰？」状態になってしまい、関数ってわけわからん！？となるのです。

そこで、関数を理解するために関数とはこんなイメージなんだよってことを体験しましょう。

関数を理解するためによく使われる例えがブラックボックスです。

ここにブラックボックスがあります。

このブラックボックスの左側から入力して右側から出力します。

左側から色を入力して、ブラックボックスを通してある法則で右側から出力しました。このブラックボックスにはどんな法則があるか分かりますか？

そうです、「白を混ぜる」という法則ですね。

このように入力したものを「ある法則」に従って出力するものが関数なのです。

次はどんな法則で出力しているか分かりますか？

今度は入力した数を「4倍する法則」ですね。

関数では一般的に入力を \(x\) 、出力を \(y\) を使って表します。

上の図の関数を式で表すと、入力（\(x\)）した数値を4倍した数が出力（\(y\)）になるので、\(y=4x\) になるわけです。

ここで、\(x\) のことを独立変数、\(y\) のことを従属変数と言います。中学数学で変数という用語はさらっと紹介されます。簡単にいうと未知数のことです。

\(x\) のことを独立変数と呼ぶのは、\(x\) にはその関数の法則を抜きに(独立して)、どんな数字も当てはめることができるからです。

それに対して\(y\) のことを従属変数と呼ぶのは、その関数の法則に従って数が決まるからです。従属とは従ってという意味ですね。

詳しくは高校数学で学びます。

1-2. 大事なキーワード！「増加量」と「値」の違いをつかめ！

関数が苦手な人の特徴の1つに「増加量」と「値」の違いがよく分からず、ごっちゃになってしまっていることがあります。

「増加量」と「値」の違いをしっかり理解して使い分けることができると、途端に関数が得意になります。

増加量とは、その名の通り「増えている量」ですよね。

例えば、あなたは今3,000円持っているとします。お小遣いをもらって8,000円になりました。

この場合の増加量はいくらになりますか？

そうです、「5,000円」になりますよね。

この「5,000円」を計算で出すには8000-3000=5000と引き算で出します。

引き算の答えのことを「差」と言いますよね。

ですから増加量のことは「差」で求めるわけです。

それに対して「値」というのは\(x=3\)とか\(y=-2\)のように表せれます。

例えば、「\(x=3\)のとき\(y=-2\)で、\(x=7\)のとき\(y=10\)」の場合、

\(x\)は\(x=3\)から\(x=7\)になっているので、\(x\)の増加量は7-3=4になります。

\(y\)は\(y=-2\)から\(y=10\)になってます。ですから10-(-2)=10+(+2)=12になるわけです。

このように「増加量」と「値」というのは両方とも数字なのですが、意味が違います。

この違いをしっかり理解してそれぞれを求められるようになれば一次関数はすぐに得意になれますよ。

なぜかというと、一次関数で一番重要なのは「変化の割合」であり、「変化の割合」とはまさに\(x\)が1増加するときの\(y\)の増加量のことだからです。

「変化の割合」を求める公式は↓です。

\(y\)の増加量を\(x\)の増加量で割れば求めることができます。

ですから、増加量とは差のことである。引き算をして求めるんだ！と意識して覚えてくださいね。

その上で練習問題を解いていけば、関数の問題はすらすら解けるようになりますから。

2. 関数を式で表してみよう！【中２数学の基本】

2-1. \(y = ax\) ってどんな意味？比例の関係

まずは中学1年生で習った「比例」について復習しましょう。

比例とは「\(x\) が2倍、3倍…、になる\(y\) も2倍、3倍…になる関係」のことでしたね。

比例の一般式は、\(y=ax\) でした。この\(a\)のことを比例定数といいました。

比例とは\(x\)に入力された数にこの比例定数を掛け算した「法則」のことです。

ですから、比例定数\(a\)を求めることができたら、比例の謎は解けたようなものなのです。

求め方は、公式\(a=\frac{y}{x}\)で求めてもいいですし、一般式\(y=ax\) の\(x\)と\(y\)に問題文で分かっている値を代入して求めてもOKです。

実はこの \(y=ax\) という比例も一次関数の仲間なんです。

\(y=ax\) は\(y=ax+b\)の\(b\) が\(0\) の場合を表しているんですね。

\(y\)切片が \(0\) だから原点を通るわけです。

2-2. \(y = \frac{a}{x}\) 反比例も簡単理解!

中学１年生のときに比例と一緒に習った反比例についても少し見ていきましょう。

反比例の一般式は、

\[y = \frac{a}{x}\]

でしたね。

\(x\) が2倍、3倍となると、 それに従って\(y\)は \(\frac{1}{2}\)倍、\(\frac{1}{3}\)になる関係のことを反比例と言いました。

反比例でもこの\(a\)のことを比例定数といいます。（※反比例定数とは言いません）

小学校のではこの\(a\)のことを「決まった数」と教えています。

ですから、反比例とはこの決まった数を\(x\)に入力した数で割り算する「法則」で出力\(y\)が決まります。

反比例は一次関数の仲間ではありません。

一次関数は \(y=ax+b\)という一次式で表される関数です。反比例は \(y = \frac{a}{x}\) なので、\(x\)が分母にあります。この場合は一次式とは言わないので一次関数ではありません。

また一次関数は変化の割合が一定な関数です。

例えば、\(y=2x+3\)という一次関数があります。この変化を表で表すと、

となります。

この表から\(x\)が\(1\)増加すると、それに従って\(y\)が\(2\)ずつ増加するのが読み取れますね。

このように一次関数は変化の割合が一定です。

今度は反比例を見てみましょう。

\(y = \frac{2}{x}\)という反比例を表で表します。

表のように、\(x\)の増加量が一定ではありませんね。ですから反比例は一次関数ではありません。

2-3. いろんな関数にチャレンジ！一次関数って？

では、中学２年生で習う「一次関数」についてみていきます。

一次関数は \(y=ax+b\)という一次式で表される関数です。

\(a\)のことを変化の割合(傾き)、\(b\)のことを切片（※\(y\)切片）と言います。

ではどんな法則なのか？

それは、\(x\)に入力した数を何倍(かけ算)してから、さらにある数を足し算する「法則」です。

入力した数にかけ算するのは\(a\)変化の割合で、その後に足し算するのは\(b\)の切片です。

例えば、\(y=2x+3\) と言う一次関数の場合、\(x\)に入力した数を \(2\) 倍してから\(+3\)を足す法則のことです。

\(y=-3x-5\)の場合は、 \(x\)に入力した数を \(-3\) 倍してから\(-5\)を足す法則になるわけです。

一次関数の法則は2回の計算があるので、難しい印象を持ってしまうのかもしれません。

ただ、これも慣れの問題なので適切な方法で繰り返し練習すればできるようになります。

そのときに気をつけて欲しいのは上の「1-2. 大事なキーワード！「増加量」と「値」の違いをつかめ！」のところなので繰り返し読んで、問題を解くときに意識してくださいね。

一次関数の解き方のコツはこちらの記事をお読みください。

3 関数のまとめ

関数とは入力と出力の関係のことでした。\(x\)に入力してある法則にしたがって\(y\)を出力する関係のことです。

\(x\)に入力した数を何倍かする「法則」を比例、比例定数（決まった数）を\(x\)に入力した数で割っていく「法則」を反比例と言います。

一次関数は、\(x\)に入力した数を何倍かした後にある数を足し算する「法則」でした。入力した数に\(a\)変化の割合を掛け算してから、切片の数を足し算して出力する関係のことです。

比例や反比例は1回の操作(計算)で終わるのに、一次関数は2回の操作（計算）があるので難しい印象がありますが、慣れれば簡単に求められるようになるので、諦めずにマスターしてくださいね。

今回は一次関数の直線の式の求め方について説明します｡
一次関数の問題は直線の式が求めることができれば､ほぼ解決します｡

できるようになれば苦手から得意にも変わることができますよ｡頑張ってﾏｽﾀｰしてくださいね｡

一次関数実践編1:直線の式の求め方

一次関数の一般式は
\[y=ax+b\]
ですね｡

直線の式を求める問題はこの一般式の \(a\) と\(b\) がいくつになるのかを計算して求めればいいわけです｡

ですからまず一次関数の一般式における \(a\) と\(b\) の名前と意味を頭に入れておきましょう｡

ﾃｽﾄに出題されるﾊﾟﾀｰﾝを簡単な順に紹介します｡

出題例その1:\(a,b\)の2つともわかっている問題

いちばん簡単なﾊﾟﾀｰﾝです。次のような問題です｡

例題:次の条件を満たす直線の式を求めなさい｡
(1) 変化の割合が \(2\) で切片が \(-3\)

一次関数の一般式の\(a,b\)の名前を覚えていればあとはこの数字を式に当てはめること(代入)で答えになります｡

変化の割合は \(a\) で 切片は \(b\) ですから､答えは
\[y=2x-3\]
になります｡

(2) 傾きが \(\displaystyle-\frac{2}{3}\)で切片が \(5\)

(1)と同じように代入して求めます｡

\[ y=-\frac{2}{3}x+5 \]

この問題ができない場合は、まず上にある一般式の図を覚えましょう。

特に \(a \)は変化の割合と傾きの \(2 \)つの呼び方があるのでしっかり覚えてください｡

出題例その3: \(a,b \)のどちらかがわかっている問題

このﾊﾟﾀｰﾝは \(a,b \)のどちらかがわかっている場合です｡

例題:次の条件を満たす直線の式を求めなさい｡
(1) 変化の割合が\(3\)で､点\((2,-3)\)を通る直線

問題文から変化の割合\(3\) だと分かるよね。よって\(a=3\)です。

次に\(b\)を求めます。

\(a=3\)を一般式\(y=ax+b\)に代入すると、
\[y=3x+b\]
になるよね。

ここに、もう一つの条件である\((2,-3)\) を代入すると
\[-3=3\times 2+b\]
これを\(b\)の一次方程式として解くと
\[b=-9\]
よって、
\[y=3x-9\]
が答えになる。

(2)傾きが\(-2\)で､点\((-3,5)\)を通る直線

問題文から傾きが\(-2\) がわかるので、\(a=-2\)です。

(1)と同じように、

\(a=-2\)を一般式\(y=ax+b\)に代入すると、
\[y=-2x+b\]
になるよね。

ここに、もう一つの条件である\((-3,5)\) を代入すると
\[5=-2\times (-3)+b\]
これを\(b\)の一次方程式として解くと
\[b=-1\]
よって、
\[y=-2x-1\]
が答えです。

(3)切片が\(−3\)で､点\((2,5)\)を通る直線

今度は切片がわかっている場合。

問題文から切片は\(-3\)と分かるから、\(b=-3\)

これを一般式\(y=ax+b\)に代入すると、
\[y=ax-3\]
になる。

ここにもう一つの条件\((2,5)\)を代入する。

\[5=a\times 2-3\]

これを\(a\)の一次方程式として解くと

\[a=4\]

よって、

\[y=4x-3\]

が答え。

出題例その4:\(a,b\)の意味から考える問題

例題:次の条件を満たす直線の式を求めなさい｡
(1) \(x\)が\(3\)増加するとき\(y\)が\(12\)増加し､点\((-5,10)\)を通る直線

この問題は変化の割合の意味が分かっていないと解けません。

変化の割合とは、\(x\)が1増加したときの\(y\)の増加量のことでしたね。

この問題では、\(x\)が3増加するとき\(y\)が12増加するので、\(x\)が1あたり増加するときの\(y\)の増加量は、
\[12 \div 3=4\]
\(4\)になる。

よって\(a=4\)が分かる。
後は上の例題と同じやり方で解けます。

\(a=4\)を一般式\(y=ax+b\)に代入すると、
\[y=4x+b\]
になるよね。

ここに、もう一つの条件である\((-5,10)\) を代入すると
\[10=4\times (-5)+b\]
これを\(b\)の一次方程式として解くと
\[b=30\]
よって、
\[y=4x+30\]
が答え。

(2)傾きが\(3\)で､\(x=0\)のとき\(y=-4\)の直線

\(x=0\)のとき\(y=-4\)から\(b\)が\(-4\)だと分かる。

なぜかというと、切片\(b\)の意味は\(x\)が0のときの\(y\)の値のことだからだ。

だからこの問題は言い換えると、

「傾きが\(3\)で、切片が\(-4\)である直線の式を求めなさい」になるから、

\(a=3\)と\(b=-4\)を一般式\(y=ax+b\)に代入して、

\[y=3x-4\]
が答えになるんだ。

＊\(x=0\)のとき\(y=-4\)ということは\((0,-4)\)と同じだということも押さえておこう。

出題例その4:\(2\)点から直線の式を求める問題

\(2\)点から直線の式を求める問題は２通りのやり方があるので、あなたのやりやすい方で解きましょう。

1.連立方程式を立てて解く方法

教科書だとこっちがメインで解き方が載っている場合が多い。

要は、一般式\(y=ax+b\)にそれぞれの座標を代入して\(a,\ b\) の連立方程式として解けばいいのだ。例題(1)はこのやり方で解くね。

2.一次関数の意味を考えて解く方法

2点から変化の割合を求めてから、片方の座標を代入して解く方法。例題(2)はこのやり方で解きます。

例題:次の条件を満たす直線の式を求めなさい｡

(1) \((-2 , \ 3)\) , \( \ \) \((6 , \ -1)\)

1.連立方程式で解く方法

まず\((-2 , \ 3)\)から。左が\(x\)座標、右が\(y\)座標なので、\(x=-2,\ y=3 \)になります。

これを一般式\(y=ax+b\)に代入すると、\(3=-2a+b\)になるので、左辺と右辺を入れ替えると、

\[-2a+b=3\]

同じように、\((6 , \ -1)\)も代入して

\[6a+b=-1\]

これらの2つの式を\(a,\ b\) の連立方程式として解けば良いわけです。

\(b\)の係数が1で揃っているので、上の式から下の式を引き算すれば\(a\)が求められますね。

\(a =\displaystyle-\frac{1}{2} \)

これを上下どちらかに代入すれば、\(b=2\)が求められます。

よって、答えは

\[ y=-\frac{1}{2}x+2 \]

となります。

(2) \(x＝2のときy ＝3\), \( \ \) \(x ＝-1のときy ＝-9である。\)

2.一次関数の意味を考えて解く方法

まず変化の割合を求めます。

変化の割合は、\(y\)の増加量を\(x\)の増加量で割り算すれば求められましたね。

この例題の場合、\(x=2\)から\(x=-1\)に変化していると考えます。

\(3\)減ってますよね。これを言い換えると「\(-3\)増加している」になります。

\(y\)は\(3\)から\(-9\)に\(12\)減ってますよね。これは「\(-12\)増加している」と捉えます。

よって、変化の割合は

\[-12 \div (-3)=4\]

になります。

\(a=4\)が分かったので、ここから\(b\)を求めます。

ここからは上の例題と同じ計算になります。

まず、一般式\(y=ax+b\)に\(a=4\)を代入します。\(y=4x+b\)になりますね。

次にこの\(y=4x+b\)の式に、(x＝2のときy ＝3), ( \ ) (x ＝-1のときy ＝-9)どちらかの条件を代入して\(b\)を求めてください。

そのときのコツは計算が楽になりそうな方を選ぶことです。今回は(x＝2のときy ＝3)の方が楽そうなのでこれを代入して計算します。

\[3=4 \times 2+b\]

この式から、\(b=-5\)が求められます。

よって答えは、

\[y=4x-5\]

になります。

まとめ　一次関数実践編1:直線の式の求め方　

まずは一般式を覚えましょう。

そして変化の割合（傾き）と切片の意味を理解して、問題を解くときにどのように使うのかを意識しましょう。

あとは教科書や学校のワークなど問題をある程度の数を解いて慣れていきましょう。

勉強は、結局のところ慣れなので。

解き方を理解てして、慣れるまで繰り返して解くこと。

これがコツになります。

こんにちは！
今日は一次関数が苦手な人が得意になるための考え方や問題の解き方をレクチャーします。

この記事を読めば、一次関数のざっくりとした意味合いが分かり表やグラフから直線の式を求められるようになります。

この記事を読んだ方がいい人

• 一次関数の基本がわからない人
• 一次関数の表から直線の式を求められない人
• 一次関数のグラフから直線の式を求められない人
• 一次関数を得意にしたい人

では、いってみよう！

一次関数が苦手な人にまず意識して欲しいこと

苦手に人は一次関数の基本的な意味合いがわかっていない場合がほとんどです｡

基本的な意味を理解して手順を踏んで問題を解いていけばできるようになります｡

ですから､まずは一次関数とはどんな意味なのかざっくりとでいいので理解しましょう｡このときのｺﾂは意味を視覚的にｲﾒｰｼﾞして理解することです｡

その次に\[y=ax+b\] という式は何を表しているのかを理解しましょう｡

その上で問題を解いて練習していけば必ず解けるようになります。

ざっくりと意味を理解してｲﾒｰｼﾞしよう

意味を理解するときに大切なことは､その状況を視覚的なｲﾒｰｼﾞをしながら理解していくことです｡

もちろん中には文章(ﾃｷｽﾄ)で理解が進む人もいます｡ただ､長年の経験やその手の本を読むと視覚的に理解することが優位な人が多いという印象です｡

私も新しいことを理解するときはできるだけ写真のようにｲﾒｰｼﾞするようにしています｡そうすると理解も進むし比較的楽に覚えられます｡私は写真のように静止画で覚えるのが得意ですが､中には動画のように動きを加えて覚えるのが得意な生徒もいます｡

どちらが得意なのかは過去の出来事を思い返してみてください｡その時に静止画と動画のどちらの方が多いのかで決めてください｡

では､実際にｲﾒｰｼﾞをしながら一次関数をざっくりと理解していく練習をしてみましょう｡

教科書や参考書を見ると､最初に水槽やﾊﾞﾈについての具体的な数字を使って説明があります｡中学1年生の時に習った比例と比較して説明する場合が多いです｡

そして､
｢一次関数は｢ \(y = ax + b\) ｣のように｢\(y\) = 一次式｣で表せる関数と定義されています｡ｸﾞﾗﾌでは直線で表されます｣
みたいに書いてあります｡

その通りなのですが､この部分をあまり理解しないで先に進むと苦手意識が深まります｡中にはこの段階でなんのこっちゃわからん!となる場合もあります｡

なので､まずはざっくりと意味をｲﾒｰｼﾞすることからやってみましょう｡

一次関数とは､まず初めにある決まった量があって､そこから一定の割合でその量が増えていく(減っていく)関係のことです｡
この初めは\(x=0\)の場合が多いです｡今は\(x=0\)の量(値)と覚えておけばOKです｡

例えば､初めお風呂に5ﾘｯﾄﾙの水があったとします｡

お風呂に水が入っているのを視覚的にｲﾒｰｼﾞしてみてください｡頭の中に写真でも動画でもいいので(その人の特性によって得意な方を使ってください)お風呂をｲﾒｰｼﾞしてください｡

こんな感じです｡

そこから水を1分間に2ﾘｯﾄﾙずつ入れていきますよ｡
蛇口から水がﾄﾞﾎﾞﾄﾞﾎﾞと入っていくところを同じように視覚的にｲﾒｰｼﾞしてください｡

どんどんお風呂の水が増えていきますよね。

1分経ちました｡水槽の中の水は初めのｲﾒｰｼﾞよりも増えていますね｡

では､実際に何ﾘｯﾄﾙになりましたか?

初めに5ﾘｯﾄﾙあって､1分後には2ﾘｯﾄﾙ増えているわけなので､5+2=7ﾘｯﾄﾙになりますよね｡

2分後はどうなりますか? 3分後はどうでしょうか? 10分後はどうなりますか?

お風呂の中の水がどんどん増えていきますよね｡
2分後には9ﾘｯﾄﾙ､3分後には11ﾘｯﾄﾙ､10分後は25ﾘｯﾄﾙになっています｡

今度は水を抜いていきます。

もし１分間に2ﾘｯﾄﾙずつ抜いていくとどうなるでしょうか?
頭の中で水が減っていく様子をイメージしてください。

1分後には、5-2=3ﾘｯﾄﾙになりますよね｡

このように初めにある量から一定の割合で増えたり減ったりする2つの関係のことを一次関数といいます｡
2つの関係というのは、上のお風呂の例で言うと「時間」と「お風呂の水の量」のことです。
また、一定の割合とは、どんな時も同じスピードで変化が起こることを意味します。

それを式で表すと､\(y=ax+b\) と表されるのです｡

上のお風呂の例では、
増える場合：\(y=2x+5\)
減る場合　：\(y=-2x+5\)

と表します。

\(y=ax+b\) の式の\(x\)に付いている(掛けてある) \(a\) は一定に割合でどのように変化をしていく量を表しているので「変化の割合」といいます。(グラフを書くときは「傾き」と言ったりします。後で説明します)

\(b\)は切片と言います。(私が学生の時は\(y\)切片と習った思います)
\(x=0\) の時の \(y\) の値のことです。

今回のお風呂の例では、初め（0分後）に水はすでに5リットル入っていました。だからこの場合 \(b=5\) になります。ここに一定の割合（1分間）に2リットルずつ増やしていきました。だから \(a=2\) になるのです。（減らす場合は \(a=-2\) ）

この関係を表で表します。\(x\) を時間、\(y\) をお風呂の水の量を表しています。

この表を見ると、\(x\) が1増えると、y が+2ずつ増えていくことがわかります。

このように \(x\) が１増える（増加量）ときの、\(y\) 増える量（増加量）のことを「変化の割合」と呼びます。

この表から一次関数の式を求めると \(y=2x+5\) となります。

もう一つ見てみましょう。

今度の場合は、\(x\) が1増えると、\(y\) が-3ずつ増えていくことがわかります。
(-3ずつ増えることは３ずつ減るのと同じ意味です)

ですから \(a=-3\)であることが読み取れます。
また、\(x=0\)のとき\(y=15\)なので、\(b=15\)が読み取れます。
合わせてこの表の関係を一次関数の式で表すと\(y=-3x+15\)となるわけです。

では実際に問題を解いてみましょう。

表から一次関数の式を求めてみよう

例題：次の表から一次関数の式を求めましょう。

例題の答え

例題1の答え

一次関数の式は\(y=ax+b\)ですから、\(a\) と \(b\) を求めれば良い訳です。

まずは、\(a\) から。

\(a\) は変化の割合でしたね。変化の割合の求め方は

ですね。これで求めた量は、\(x\) が1増えたときの \(y\) の増加量を表します。

例題1の場合、表から3ずつ増えていくのが読み取れます。

ですから、 \(a=3\) になります。

次に、 \(b\) を求めます。

\(b\) は\(x=0\) のときの \(y\) の値のことです。

表から、 \(x=0\) のときの \(y\) の値は 1 であることが読み取れますね。

ですから、 \(b=1\) になります。

よって答えは、

\(y=3x+1\)

です。

・ここで「値」と「増加量」の違いをしっかり押さえましょう。

「値」とは表や座標に書いてある「数字」のことを指します。

それに対して「増加量」とは「差」のことです。引き算して求める量のことです。

一次関数が苦手な人はこの「値」と「増加量」の区別がしっかりできていない場合が多いです。ここの違いをしっかり押さえて練習を積めば一次関数は必ず得意になりますよ。頑張ってください。

例題2の答え

例題1と同じように読み取ってください。

\(y\)の値が \(-5\) から \(-3\) に増えてますね。\(+2\)ずつ増えています。

ですから、\(a=2\)になります。

次に\(b\)です。 \(x=0\) のときの \(y\) の値は \(-5\) ですから、\(b=-5\) になります。

よって、

\(y=2x-5\)

になります。

例3の答え

同様に、表から \(a\) と \(b\) を読み取ります。

今度は、\(a\) が \(3\)ずつ減っていくのが分かりますね。

\(3\)ずつ減っていくということは、\(-3\)ずつ増えてくと同じことなので、

\(a=-3\) になります。

\(b\) は表から\(4\)と読み取れるので、\(b=4\)になります。

よって答えは、

\(y=-3x+4\)

です。

最後にちょっとした応用問題をやってみましょう。

応用例題

例題4答え

まずは\(a\) から求めます。

\(y\) の値がわかっているのは \(x=1\) のときと \(x=3\) なので、ここから \(x\) の増加量と\(y\) の増加量を求めます。

\(x\) の増加量は \(3-1=2\) ですね。

\(y\) の増加量は \(6-(-2)=8\) になりますね。

よって、変化の割合は

で求められるので、\(a=(8 \div 2) =4\) になります。

次に\(b\) ですが、切片は\(x=0\) のときの \(y\) の値ですが、今回は空欄なので計算して求めることになります。

変化の割合が \(4\) ですから、\(x\) が\(1\) 増えると \(y\) は \(4\)ずつ増えていきます。

\(x=1\) のとき \(y=-2\) なので、\(x=0\) のときは\(-2\) よりも\(4\)小さい値になることが分かります。

よって、\(-2-4=-6\) になります。

\(a=4\) , \(b=-6\) になるので、答は、

\(y=4x-6\)

になります。

例題5の答え

例題4と同じように考えます。

今度は \(y\) の値がわかっているのは \(x=1\) のときと \(x=4\) なので、ここから \(x\) の増加量と\(y\) の増加量を求めます。

\(x\) の増加量は \(4-1=3\) 、\(y\) の増加量は \(-5-1=-6\) になりますね。

よって、変化の割合は \(a=(-6 \div 3 )=-2\) と求めることができます。

次に \(b\) です。切片は\(x=0\) のときの \(y\) の値でしたね。

\(x=1\) のとき \(y=1\) なので、\(x=0\) のときは\(1\) よりも\(-2\)小さい値になることが分かります。

\(-2\)小さいと言うことは、\(+2\)大きいことになります。よって、\(1+2=3\) になります。

\(a=-2\),\(b=3\)になるので、答えは、

\(y=-2x+3\)

です。

表から一次関数の式を求める　まとめ

表から一次関数の式の求め方は、以下の流れになります。

• 一次関数の意味をイメージしながら理解する
• 変化の割合と切片の意味を理解する
• 練習

また、「値」と「増加量」の違いをしっかり区別するように意識しましょう。

理解できたら、学校のワークや教科書の例題などで練習してみてください。

きっとこの記事を読む前よりも、スラスラ解けているはずです。